1.9 Inferència lògica

Molts cops veieu com en resoldre exercicis a matemàtiques se us demana que raoneu o justifiqueu la resposta. Ara volem tractar aquest assumpte. Què es vol dir que raoneu la vostra resposta? És clar, heu de fer un raonament vàlid que justifiqui allò que se us demana demostrar. Això té dues parts, una és conduir correctament el vostre raonament des del punt vista lògic, i l’altra, és comprendre correctament els conceptes que estan presents en el raonament des del punt de vista matemàtic. Aquí tractarem el primer punt perquè el segon depèn dels coneixements que cadascú té de les matemàtiques.

Si suposem que la proposició condicional ‘$p\rightarrow q$’ és vertadera, llavors sabem (recordeu la taula de veritat d’aquesta connectiva) que si ‘$p$’ és vertadera, necessàriament ho serà ‘$q$’. Ara bé, només pel fet que ‘$p\rightarrow q$’ sigui vertadera no es té que ‘$p$’ i ‘$q$’ siguin vertaderes, perquè podrien ser totes dues falses, o ‘$p$’ falsa i ‘$q$’ vertadera. Per tant, si ‘$p\rightarrow q$’ i ‘$p$’ són vertaderes, llavors sí que ‘$q$’ ha de ser vertadera. En aquest últim cas es diu que ‘$q$’ és conseqüència lògica de ‘$p\rightarrow q$’ i ‘$p$’ o també que ‘$q$’ s’infereix lògicament de ‘$p\rightarrow q$’ i ‘$p$’. És habitual representar aquesta inferència lògica seguint el següent format:

on la linea horitzontal separa les proposicions que es diuen premisses, de la proposició que es diu conclusió.

Per exemple: Si $x\in A$, llavors $\left|x\right|\leq 1$; sabem que $x\in A\cap B$. En conseqüència, $\left|x\right|\leq 1$. La regla d’inferència anterior ens permet assegurar que aquest argument és vàlid perquè sabem que $x\in A\cap B$ implica $x\in A$.

Observem doncs, que la conseqüència lògica és una relació entre les premisses i la conclusió. De fet, pel raonament que hem fet abans aquesta inferència pot també escriure’s com ‘$\left(p\rightarrow q\right)\wedge p$’ $\Longrightarrow$ ‘$q$’, és a dir, com una implicació lògica. És clar que també podríem reescriure aquesta implicació lògica en termes de formes proposicionals com $(A\longrightarrow B)\wedge A$ $\Longrightarrow B$, on $A$ i $B$ són formes, i també com a inferència lògica seguint el format anterior:

En general, des del punt de vista lògic un raonament és un condicional que té com antecedent la conjunció de proposicions $P_{1},...,P_{n}$, anomenades premisses, i com a conseqüent una proposició $C$, anomenada conclusió:

Es diu que el raonament és vàlid si la conclusió necessàriament es deriva de les premisses, o sigui, si $\left(P_{1}\wedge\cdots\wedge P_{n}\right)\longrightarrow C$ és tautologia, o equivalentment, si $\left(P_{1}\wedge\cdots\wedge P_{n}\right)\Longrightarrow C$. Pensant en la noció d’implicació lògica, podem dir que un raonament és vàlid si no podem assignar valors de veritat a les proposicions que s’utilitzen en el raonament de manera que les premisses siguin vertaderes i la conclusió sigui falsa.

És important no oblidar aquí que la lògica s’ocupa només d’analitzar la validesa dels raonaments, o sigui de la sintaxi del llenguatge, no ens pot dir res sobre si la informació continguda en una hipòtesi és vertadera o falsa, que formaria part de la interpretació o semàntica del llenguatge. Per tant, els termes vàlid i no vàlid es refereixen a l’estructura del raonament, no a la veritat o falsedat de les proposicions què depèn dels nostres coneixements de matemàtiques.

Tenint en compte l’última manera d’escriure el nostre argument, podríem intentar demostrar que és vàlid, mostrant que $\left(P_{1}\wedge\cdots\wedge P_{n}\right)\longrightarrow C$ és tautologia, utilitzant una taula de veritat. Aquest mètode realment funcionaria, però no seria gens eficaç. En primer lloc, atès que si hi ha $m$ proposicions implicades, la taula de veritat hauria de tenir $2^{m}$ files, la qual cosa seria molt feixuga si $m$ és gran. En segon lloc, l’ús d’una taula de veritat no proporciona cap visió intuïtiva de per què l’argument és vàlid.

Per a aquests motius, en lloc d’utilitzar taules de veritat, intentarem justificar la validesa dels raonaments fent ús de les implicacions lògiques que hem donat. Si volem demostrar una implicació lògica complicada, és recomanable fer-ho descomponent-la en una col·lecció d’implicacions més senzilles, preses d’una en una. Si ja es coneixen les implicacions més simples, podrien ser blocs per a la implicació més complicada. Algunes de les implicacions senzilles que fem servir, conegudes com a regles d’inferència de la lògica proposicional, es detallen a continuació.

En aquesta taula hem utilitzat el conveni de representar per una línia horitzontal doble dues regles d’inferència com s’indica a continuació:

on $A$ i $B$ són formes proposicionals. No sols hem tingut present les implicacions lògiques de la secció 2.3.1, també les equivalències lògiques de la secció 1.8 com, per exemple, les lleis de De Morgan.

Solució:  Primer procedim a identificar les proposicions simples:

$p=$

‘Pau va rebre l’e-mail’

$q=$

‘Pau va agafar l’avió’

$r=$

‘Pau serà aquí al migdia’

Després, expressem formalment el raonament:

Per provar la validesa d’aquest argument utilitzarem les regles d’inferència:

Observem que la fila $3$ s’ha deduït de la fila 2 mitjançant la regla ID; la fila 4 s’ha deduït de la fila 3 fent ús de la llei de De Morgan i, finalment, la fila 5 que és la conclusió s’ha obtingut de les files 1 i 4 per la regla MT.   $\square$

Solució:  Les proposicions simples d’aquest raonament són:

$p=$

‘Robem un banc’

$q=$

‘Anem a la presó’

$r=$

‘Ens divertim’

$s=$

‘Tenim vacances’

Expressem el raonament simbòlicament:

Intentem provar la validesa d’aquest argument utilitzant les regles d’inferència:

Observem, però que no hem fet ús de la hipòtesi 2. Llavors, la conclusió $q\vee r$ és vertadera si $q$ i $r$ ho són, però en canvi la hipòtesi 2, $q\longrightarrow\lnot r$, és falsa i això no és possible. Per tant, el raonament no és vàlid.   $\square$

En tot raonament se’ns presenten dues qüestions molt importants: Una és la seva validesa, i l’altra, és la seva deduïbilitat. La primera qüestió fa referència a les taules de veritat, i la segona, a les regles d’inferència. Quina relació hi ha entre aquestes dues nocions? Tot i que no és absolutament obvi ni fàcil de demostrar, resulta molt remarcable que les dues nocions, una de naturalesa semàntica i l’altre sintàctica, sempre donen el mateix resultat, és a dir, un raonament és vàlid si i només si és deduïble. Per tant, si volem demostrar que un argument donat és vàlid, n’hi haurà prou amb demostrar que és deduïble i viceversa. L’equivalència d’aquests dos enfocaments és un resultat important en la lògica. El fet que la validesa implica la deduïbilitat es coneix com a teorema de completesa de la lògica proposicional, i el fet que la deduïbilitat implica la validesa es coneix com a teorema de la correcció de la lògica proposicional. A més, aquesta lògica és decidible, la qual cosa vol dir que qualsevol raonament expressat en aquest llenguatge podrà deduir-se en un nombre finit de passos, mitjançant les taules de veritat, la seva validesa o no. Aquests resultats i les seves demostracions poden trobar-se en qualsevol text de lògica proposicional.

Per les consideracions de l’apartat anterior observem que per provar que un raonament és vàlid, simplement hem de trobar una deducció, que sovint és una tasca molt més agradable que mostrar directament la seva validesa. En canvi, per provar que un raonament no és vàlid, les deduccions no són de gran ajuda, perquè hauríem de demostrar que no és possible trobar cap deducció, i això no podrem assegurar-ho mai, sempre podria haver-hi una deducció que funcionés. En aquests casos és millor fer servir la definició de validesa directament i trobar valors de veritat per als quals les proposicions que són premisses del raonament siguin vertaderes i la conclusió falsa.

Solució:  Primer procedim a identificar les proposicions simples:

$p=$

‘El crim va ocórrer després de les 4’

$q=$

‘Pep podia haver comès el crim’

$r=$

‘Carles podia haver comès el crim’

$s=$

‘El crim involucra a dues persones’

Després expressem el raonament simbòlicament:

Intentem provar la validesa d’aquest argument utilitzant les regles d’inferència:

No hem deduït $s$ sinó $\lnot q\vee s$. Això fa pensar que si $q$ és falsa i $s$ també, hi ha una interpretació (una fila de la taula de veritat) que farà les premisses vertaderes i la conclusió, falsa; es pot comprovar que això passa si prenem $p$ i $r$ ambdues vertaderes. Per tant, aquest raonament no és vàlid. A continuació mostrem la interpretació esmentada:

Volem destacar el fet què construir una taula de veritat per veure que hi ha una valoració que prova el que hem dit, portaria molta feina perquè la taula tindria 16 files.   $\square$

Hi ha raonaments que quan intentem provar la seva validesa deduïm una contradicció, és a dir, deduïm una proposició i la seva negació. Llavors es diu que el conjunt de premisses d’aquest raonament és inconsistent. Quan les premisses d’un raonament no són inconsistents es diu que les premisses són consistents. No és que hi hagi res lògicament erroni amb premisses inconsistents, senzillament que no serveixen per res, perquè aleshores podem deduir qualsevol proposició. Volem destacar també que, des del punt de vista semàntic, un raonament té un conjunt de premisses inconsistent quan no hi ha cap interpretació (cap fila de la taula de veritat) que faci a totes les premisses vertaderes.

Solució:  Procedim a formalitzar el raonament, identificant les seves proposicions simples:

$p=$

‘Miquel toca la piano’

$q=$

‘Maria toca la guitarra’

$r=$

‘Carla toca el violí’

$s=$

‘Jaume toca l’acordió’

Llavors el raonament formalitzat és

Per un costat, utilitzant les regles d’inferència, s’obté:

Per un altre, es té també

Observem que hem deduït $s$ en el primer cas, i $\lnot s$, en el segon. Com a conseqüencia, podem deduïr $s\wedge\lnot s$, que és una contradicció. Per tant, el conjunt de premisses és inconsistent.

També podem provar la inconsistència de les premisses comprovant si és possible que hi hagi una interpretació que faci totes les premisses vertaderes:

Observem que no és possible excepte que acceptem que una proposició sigui vertadera i falsa alhora, cosa que no pot ser.   $\square$

Per acabar aquesta secció, volem tractar els raonaments que a vegades es consideren com a vàlids i no ho són, sovint coneguts com a fal·làcies. En primer lloc tractarem els que tenen a veure amb un mal ús de les regles d’inferència. Són arguments que poden semblar vàlids a primera vista, però que són fal·làcies. Considerem el següent raonament: "Si l’Albert menja un bon dinar, beurà una cervesa. L’Albert va beure una cervesa i, per tant, va menjar un bon dinar". Podríem pensar que aquest raonament és vàlid per MP, però no és així. En efecte, si formalitzem l’argument es té:

$p=$

‘Albert menja un bon dinar’

$q=$

‘Albert beurà una cervesa’

i, aleshores,

És evident que no poden aplicar MP i, a part, no és vàlid, perquè pot haver begut una cervesa sense haver tingut un bon sopar. De fet, si fem la interpretació següent

comprovem el que hem dit.

Considerem ara el següent raonament: "Si en Joan va en bicicleta a primera hora del matí, aleshores menja un bon esmorzar. En Joan no va en bicicleta. Per tant, en Joan no menja un bon esmorzar". Podríem pensar que aquest raonament és vàlid per MT, però no és així. En efecte, si formalitzem l’argument es té:

$p=$

‘Joan va en bicicleta a primera hora del matí’

$q=$

‘Joan menja un bon esmorzar’

i, aleshores,

És evident que no poden aplicar MT i, a part, no és vàlid, perquè pot haver menjat un bon esmorzar sense haver anat en bicicleta. De fet, si fem la interpretació següent

comprovem el que hem dit.

En segon lloc, hi ha raonaments que no són vàlids perquè es fan suposicions que no estan justificades per les premisses. Per exemple, considerem el següent raonament: "Si en Dídac té febre, esternuda molt. Per tant, Dídac esternuda molt". És clar que podríem aplicar MP per concloure que en Dídac esternuda molt, però no sabem per les hipòtesis que en Dídac té febre.

Aquests exemples de fal·làcies poden semblar molt senzills, però quan el raonament és més extens i complex, i no s’escriu sinó que es parla, a vegades aquests errors lògics passen desapercebuts. Cal doncs tenir cura de no cometre’ls.