1.13 Teories axiomàtiques

La geometria euclidiana plana es pot considerar com el conjunt de resultats que s’obtenen a partir dels cinc postulats d’Euclides per deducció lògica. Com es pot observar de seguida, els postulats d’Euclides estan pensats per fer geometria en el pla fent ús de la regla i el compàs. Aquests postulats són:

1. 1.
   ​

   Es pot traçar una línia recta entre dos punts qualsevol i el resultat és un segment de línia recta.

2. 2.
   ​

   Qualsevol segment de línia recta es pot ampliar indefinidament.

3. 3.
   ​

   Donat un punt i un segment de línia de recta que comencen pel punt, podeu dibuixar un cercle centrat en el punt donat amb el segment de línia donat com a radi.

4. 4.
   ​

   Tots els angles rectes són iguals.

5. 5.
   ​

   Si dues rectes en un pla es troben amb una altra recta i si la suma dels angles interns d’un costat és inferior a dos angles rectes, les rectes es reuniran si s’estenen prou al costat on es suma la suma dels angles és inferior a dos angles rectes.

   

El cinquè axioma és conegut com l’axioma de les paral·leles quan és reformulat d’aquesta manera: ‘Donada qualsevol recta i un punt que no estigui sobre aquesta recta, existeix una única recta que passa pel punt i és paral·lela a la recta donada’. De fet, la geometria clàssica euclidiana es distingeix per aquest axioma. Si no acceptem aquest resultat, surt per exemple l’axioma de Lobachevsky: Donada una recta i un punt exterior a ella, existeixen almenys dues rectes que passen per aquest punt i que no tallen la recta donada. La geometria caracteritzada pels quatre primers postulats d’Euclides i l’axioma de Lobachevsky distingeix la geometria anomenada hiperbòlica.

Demostració:  En efecte, considerem un triangle rectangle qualsevol $ABC$, on hi suposem l’angle $\angle BAC$ recte. Podem construir un quadrat sobre cada segment del triangle, i obtenir d’aquesta manera una construcció com la de la figura següent.

Observem primer que els triangles $DCB$ i $ABI$ són iguals, perquè $AB=BD$, $BI=BC$ i $\angle DBC=\angle ABI$. Llavors, l’àrea del quadrat $ABDE$ és el doble de l’àrea del triangle $DCB$, perquè les dues figures tenen la mateixa base i es troben entre les mateixes paral·leles. Per la mateixa raó l’àrea del rectangle $BIJK$ és el doble de l’àrea del triangle $ABI$. D’aquestes dues conclusions, obtenim que l’àrea del rectangle $BIJK$ és igual que l’àrea del quadrat $ABDE$. Anàlogament, s’obté que l’àrea del rectangle $CHKJ$ és igual que l’àrea del quadrat $ACGF$. Per tant, com l’àrea del quadrat $BIHC$ és igual a la suma de les àrees dels rectangles $BIKJ$ i $CHKJ$, per les igualtats demostrades tenim que l’àrea del quadrat $BIHC$ de catet oposat a l’angle recte, és igual a la suma de les àrees dels quadrats $ABDE$ i $ACGF$, que tenen per catets els segments que comprenen l’angle recte.   $\blacksquare$

A partir dels postulats de Peano, és possible demostrar totes les propietats esperades dels nombres naturals i, a partir del nombres naturals, és possible construir primer els enters, després els nombres racionals i després els nombres reals. El conjunt dels nombres naturals és el conjunt $\mathbb{N}$, l’existència del qual ve donada per als postulats de Peano que són:

1. 1.
   ​

   Existeix un element $1$ que pertany al conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$.

2. 2.
   ​

   Existeix una funció $s:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tal que compleix les propietats següents:

   1. (a)
      ​

      No hi ha cap nombre natural $n$ tal que $s(n)=1.$

   2. (b)
      ​

      Per a tots $m,n\in N$, si $s(m)=s(n)$, llavors $m=n$.

   3. (c)
      ​

      Per a cada subconjunt $K\subseteq\mathbb{N}$, si $1\in K$ i per a cada nombre natural $n\in K$ es té que $s(n)\in K$, llavors tot nombre natural és de $K$.

Si pensem intuïtivament en la funció $s$ com la que assigna a cada nombre natural el seu següent, llavors la part (a) dels postulats diu que $1$ és el primer element en $\mathbb{N}$, perquè no és el successor de res. També es diu que $\mathbb{N}$ és un conjunt ben ordenat. La part (c) es coneix com a principi d’inducció i constitueix la base de les demostracions per inducció que hem tractat en l’apartat 1.12.8.

La pregunta que ens fem de seguida és com sabem que hi ha un conjunt i un element del conjunt i una funció del conjunt en si mateix, que satisfan els postulats de Peano? La resposta no la tractarem aquí. Com hem assenyalat més amunt la teoria de conjunts és la base de les  matemàtiques modernes, llavors no és necessari suposar addicionalment que els postulats de Peano es compleixen, perquè l’existència d’alguna cosa que compleixi els postulats de Peano es pot deduir dels axiomes de la teoria de conjunts.

Per a completar aquest apartat proposem demostrar una propietat característica del conjunt dels nombres naturals: tot subconjunt $K$ no vuit de $\mathbb{N}$ està ben ordenat, és a dir, que $K$ té primer element.

Demostració:  La demostració la farem per reducció a l’absurd utilitzant alhora el principi d’inducció: Considerem un conjunt no vuit de nombres naturals $K$ sense cap primer element. Considerem la propietat que per a qualsevol $n$ de $K$, $n$ no és següent de cap nombre de $K$. Fem inducció sobre $n$. El cas base és $1\notin K$, i això és evident, perquè $K$ és un subconjunt de nombres naturals i $1$ és el primer element de $\mathbb{N}$. La hipòtesi d’inducció és suposar que per a qualsevol $n$, no hi ha cap element de $K$ del qual $n$ sigui el seu següent. Hem de provar que això també es compleix per $n+1$. És clar que $n+1$ és el següent de $n$. Si $n\in K$, per hipòtesi d’inducció, $n$ és el primer element, però això és contradictori amb el fet que $K$ no té cap primer element. Per tant, $n+1\notin K$, i en conseqüència $K=\mathbb{N}$, és a dir, $K$ té primer element.   $\blacksquare$