1.2 Proposicions i predicats

És evident que l’enunciat ‘si els elefants volen, existeix el nombre $\pi$’ no és matemàtic perquè hi apareixen termes que no estan definits dins de les matemàtiques; en canvi, ‘$161$ és múltiple de $7$’ sí que és un enunciat matemàtic. Aquí no volem definir en rigor què és un enunciat matemàtic, només ens interessa que tingueu una idea intuïtiva clara sobre com distingir un enunciat matemàtic d’aquell que no ho és, i això creiem que ho podem assumir sense cap problema.

Hi han enunciats de les matemàtiques que són proposicions i altres, predicats. Una proposició és un enunciat que és o vertader o fals. Per exemple, els enunciats següents són proposicions vertaderes:

• •
  ​

  Si un cercle té un radi de $r$ unitats, aleshores la seva àrea és $\pi r^{2}$ unitats quadrades.

• •
  ​

  Tot nombre parell és divisible per $2$.

• •
  ​

  $2\in\mathbb{Z}$, que es llegeix ‘$2$ pertany als nombres enters’.

• •
  ​

  $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$, que es llegeix ‘$\sqrt{2}$ no pertany als nombres irracionals’.

• •
  ​

  $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$, que es llegeix ‘els nombres naturals és un subconjunt dels nombres enters’.

• •
  ​

  El conjunt $\left\{a,b,c\right\}$ té 3 elements.

• •
  ​

  Alguns triangles rectangles són isòsceles.

En canvi, les proposicions següents són falses:

• •
  ​

  $1=2$.

• •
  ​

  $\sqrt{2}\notin\mathbb{R}$.

• •
  ​

  Per a tot nombre real $x$, es té que $x^{2}+1\leq 0$.

• •
  ​

  $\left\{1,2,3\right\}\cap\mathbb{N}=\varnothing$, que es llegeix ‘la intersecció dels conjunts $\left\{1,2,3\right\}$ i $\mathbb{N}$ és el conjunt vuit’.

• •
  ​

  La suma dels angles de qualsevol quadrilàter val 180^o.

• •
  ​

  Si $x=2$, aleshores $x^{2}=9$.

• •
  ​

  6 és un nombre primer.

Volem observar que hi ha proposicions que tenen variables. Per exemple, l’enunciat ‘Si $x$ és un nombre enter, $2x+1$ és senar’ és una proposició vertadera. L’enunciat ‘Per a tots els nombres reals $x,y$ es compleix $(x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}$’ és una proposició verdadera. També hi ha proposicions falses amb variables com, per exemple, ‘Per a tot nombre real $x$ es té $\sqrt{x^{2}}=x$’.

També hi han enunciats que encara no sabem si són certs o no, que són anomenats conjectures i que no són pròpiament proposicions. Per exemple, la conjectura de Goldbach diu: Tot enter parell superior a 2 és una suma de dos nombres primers. També tenim la conjectura de Fermat segons la qual per a tots els nombres naturals $a,b,c,n$ i $n>2$ es té $a^{n}+b^{n}\neq c^{n}$, però en aquest cas, a 1993, el matemàtic Andrew Wiles va demostrar que la conjectura era certa.

Finalment, els enunciats següents no són proposicions:

• •
  ​

  $x$ és un nombre parell.

• •
  ​

  Una recta paral·lela a la recta d’equació $x+y=1$.

• •
  ​

  Els nombres enters parells més gran que un nombre irracional donat.

• •
  ​

  La funció $f$ és la funció inversa de la funció $g$.

• •
  ​

  $2x+1$.

Els predicats són enunciats oberts perquè contenen variables i són vertaders o falsos depenent dels valors assignats a les variables. Aquí denotem els predicats per lletres majúscules, com per exemple $P(x)$ o $Q(m,n)$, afegint les variables que estan presents entre parèntesis. Per exemple, l’enunciat ‘$n$ és un nombre primer’ és un predicat que representem per $P(n)$, i l’enunciat   ‘$m$ és més gran o igual que $n$’, o abreujadament, ‘$m\geq n$’ per $Q(m,n)$. Llavors, $P(2)$ és la proposició ‘$2$ és un nombre primer’ que és vertadera, i $Q(3,4)$ és la proposició ‘$3\geq 4$’ que és falsa.

Dels cinc últims enunciats anteriors que no són proposicions els quatre primers són predicats. El primer és el predicat ‘ser un nombre parell’, que si el denotem per $P$, aleshores l’enunciat és $P(x)$. El segon és el predicat ‘ser una recta paral·lela a $x+y=1$’, que si el simbolitzem per $Q$ i escrivim una recta del pla com $ax+by=c$, aleshores l’enunciat és $Q(a,b,c)$; per exemple, $Q(2,2,-1)$ és la proposició ‘$2x+2y=-1$ és una recta paral·lela a $x+y=1$’ que és verdadera. De fet el tercer és una família de predicats que depèn del paràmetre $a$ que és un nombre irracional. En concret, si el designem per $P_{a}$ i considerem que la variable $x$ pren valors a $\mathbb{Z}$, aleshores l’enunciat és $P_{a}(x)$; per exemple, $P_{\sqrt{2}}(4)$ és la proposició ‘$4$ és un nombre enter parell més gran que el nombre irracional $\sqrt{2}$’ que és falsa. Finalment, l’últim és el predicat ‘$f$ és la funció inversa de $g$’, que si el denotem per $S$ i $f,g$ són variables que denoten funcions, aleshores l’enunciat és $S(f,g)$; per exemple, $S(\sqrt[3]{x},x^{3})$ és la proposició ‘$\sqrt[3]{x}$ és la funció inversa de $x^{3}$’ que és vertadera. En canvi, l’últim no és un predicat perquè al substituir la variable $x$ per un número s’obté un altre número, però en cap cas una proposició; diem que és una expressió algebraica. Aquestes expressions estan compostes per variables, constants numèriques i els símbols de les quatre operacions fonamentals de l’aritmètica.

Para acabar aquesta secció volem advertir que hem d’escriure

i no

perquè els termes ‘vertadera’ i ‘falsa’ no formen part del llenguatge de les matemàtiques (mireu l’observació següent). De fet hauríem d’escriure “$3\geq 4$’ es falsa perquè el nombre enter $3$ no és més gran o igual que el nombre enter $4$’. No és el nostre objectiu ser el màxim de rigorosos, però és important aquesta distinció perquè si no la fem, surten paradoxes, o sigui, enunciats que condueixen a fets contradictoris, que no es poden donar alhora. Aquí usem el català ampliat amb alguns símbols (per exemple, abans hem vist: $\in,\notin$ i $\subseteq$) que serveixen d’abreujadors per descriure el llenguatge de les matemàtiques; de fet això no és nou, ja que per aprendre la gramàtica anglesa podem fer ús del català.