1.3 Connectives lògiques

Si $p$ i $q$ són dues proposicions, llavors la conjunció d’aquestes dues proposicions és la proposició ‘$p$ i $q$’, simbolitzada per $p\wedge q$, i que es defineix de la següent manera:

• •
  ​

  És vertadera, quan $p$ i $q$ són ambdues vertaderes;

• •
  ​

  És falsa, quan $p$ és falsa o $q$ és falsa o ambdues són falses.

Per exemple, la proposició ‘$1<\sqrt{2}<2$’ és la conjunció de les proposicions ‘$\sqrt{2}>1$’ i ‘$\sqrt{2}<2$’, que són totes dues vertaderes i, per tant, és vertadera.

D’acord amb la definició anterior, s’obté la taula de veritat de la conjunció lògica:

Observem que la conjunció de dues proposicions només és vertadera quan les dues proposicions són vertaderes.

Si $p$ i $q$ són dues proposicions, llavors la disjunció d’aquestes dues proposicions és la proposició ‘$p$ o $q$’, simbolitzada per $p\vee q$, i que es defineix de la següent manera:

• •
  ​

  És vertadera, quan almenys una de les dues proposicions és vertadera;

• •
  ​

  És falsa, quan $p$ i $q$ són ambdues falses.

Per exemple, la proposició ‘$\pi\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)$’ és la disjunció de les proposicions ‘$\pi<-1$’ o ‘$\pi>1$’, la primera és falsa i la segona és vertadera i, per tant, és vertadera. La taula de veritat d’aquesta connectiva és

Observem que la disjunció de dues proposicions és falsa quan les dues proposicions són falses. Destaquem l’ús inclusiu que fem d’aquesta connectiva respecte de l’exclusiu que fem servir habitualment a la vida quotidiana i que fa que la proposició sigui vertadera quan només una de les proposicions és vertadera.

Si $p$ és una proposició, llavors la negació d’aquesta proposició és la proposició ‘no $p$’, simbolitzada per $\lnot p$, que es defineix de la següent manera:

• •
  ​

  És vertadera, quan $p$ és falsa;

• •
  ​

  És falsa, quan $p$ és vertadera.

Per exemple, la proposició ‘$\sqrt{3}\notin\left(0,1\right)$’ és la negació de la proposició ‘$\sqrt{3}\in\left(0,1\right)$’, que és falsa i, per tant, és vertadera. La taula de veritat d’aquesta connectiva és

Si $p$ i $q$ són dues proposicions, llavors el condicional d’aquestes dues proposicions és la proposició ‘si $p$, llavors $q$’, simbolitzada per $p\longrightarrow q$, i que es defineix de la següent manera:

• •
  ​

  És vertadera, quan $p$ i $q$ són ambdues vertaderes o $p$ és falsa;

• •
  ​

  És falsa, quan $p$ és vertadera i $q$ és falsa.

Una proposició condicional ‘si $p$, llavors $q$’ també se’n diu implicació i diem que "$p$ implica $q$", i que $p$ és l’antecedent i $q$ és el conseqüent de la implicació. La interpretació que fem d’aquesta connectiva sorprèn una mica en el seu ús doncs, per exemple, en l’enunciat ‘Si hi ha dues rectes en el pla que són paral·leles, llavors 2 és un nombre primer’ no hi ha cap relació entre l’antecedent ‘hi ha dues rectes en el pla que són paral·leles’ i el conseqüent ‘$2$ és un nombre primer’, i, és matemàticament correcte, independentment de si l’antecedent és vertader o fals.

Segons la definició que hem donat, la taula de veritat d’aquesta connectiva és

Observem que només és falsa quan l’antecedent és vertader i el conseqüent és fals. El condicional de dues proposicions $p$ i $q$ podem trobar-lo en proposicions escrites al català de moltes maneres: (1) $q$ si $p$; (2) si $p$, $q$; (3) $p$ només si $q$; o (4) $q$ sempre que $p$.

Per exemple, la proposició ‘700 és divisible per 4 perquè el nombre acaba amb dos zeros’ és el condicional: ‘$P(700)$ implica $Q(700)$, on $P$ és el predicat ‘tenir zero a les decenes i també a les unitats’ i $Q$ és ‘ser divisible per 4’.

Si $p$ i $q$ són dues proposicions, llavors el bicondicional d’aquestes dues proposicions és la proposició ‘$p$ si i només si $q$’, simbolitzada per $p\longleftrightarrow q$, i que es defineix de la següent manera:

• •
  ​

  És vertadera, quan $p$ i $q$ són ambdues vertaderes o falses;

• •
  ​

  És falsa, quan $p$ és vertadera i $q$ és falsa, o $p$ és falsa i $q$ és vertadera.

Una proposició bicondicional ‘$p$ si i només si $q$’ també se’n diu doble implicació i diem que "$p$ implica $q$ i $q$ implica $p$". La taula de veritat d’aquesta connectiva és

Per exemple, la proposició ‘98 és múltiple de 6 si i només si 98 és divisible per 2 i també per 3’ és el bicondicional ‘$P(98)$ si i nomes si $Q(2)$ i $R(3)$, on $P$ és el predicat ‘ser múltiple de 6’, $Q$ és ‘ser divisible per 2’ i $R$ és ‘ser divisible per 3’.

Solució:  (1) La proposició $-4\leq-1$ es pot expressar com la disjunció: ‘$-4<-1$’ o ‘$-4=-1$’. (2) La proposició $\left|-3\right|=\left|2\right|$ és la disjunció: ‘$-3=2$’ o’$-3=-2$’. (3) La proposició $-1\in\left[0,1\right]$ és la conjunció: ‘$-1\geq 0$’ i ‘$-1\leq 1$’. (4) La proposició $2\notin\left[0,1\right]$ és la negació: ‘no $2\in\left[0,1\right]$’. (5) La proposició ‘$\sqrt{2}<2<2\sqrt{2}$ si $1<\sqrt{2}<2$’ és el condicional ‘$1<\sqrt{2}<2$ implica $\sqrt{2}<2<2\sqrt{2}$’. (6) La proposició ‘$\sqrt[3]{1331}=11$ si i només si $11^{3}=1331$’ és el bicondicional ‘ $11^{3}=1331$ implica $\sqrt[3]{1331}=11$ i $\sqrt[3]{1331}=11$ implica $11^{3}=1331$’.   $\square$