1.5 Formes proposicionals

Com hem fet fins ara les lletres $p,q,r,...$ s’usen com a variables que representan a proposicions. El valor de veritat de $p$, per exemple, és desconegut mentre no s’especifica la seva interpretació, és a dir, no és coneix el significat de la proposició que representa.

Anomenem formes proposicionals a les expressions formals ben formades constituïdes per variables proposicionals i les connectives lògiques que les relacionen. Per exemple, $A(p,q,r)=\left(\left(p\wedge q\right)\longrightarrow\left(r\vee\lnot p\right)\right)\wedge r$ és una forma proposional que conté tres variables $p,q$ i $r$. Les formes proposicionals no són proposicions, però si cada variable proposicional és reemplaçada per una proposició simple o composta, la forma proposicional es converteix en una proposició. Si reemplacem les variables proposicionals per proposicions vertaderes o falses, el nombre de proposicions que es generen és $2^{n}$, sent $n$ el nombre de variables proposicionals. A la taula de veritat que es genera se l’anomena a vegades matriu de la forma proposicional. La matriu de la forma $A(p,q,r)$ té $2^{3}=8$ interpretacions posibles:

Per exemple, la forma es converteix en una proposició vertadera quan les variables proposicionals $p,q$ i $r$ s’interpreten respectivament com a proposicions que són vertadera, falsa i vertadera (fila 3 de la matriu).

Solució:  La forma té dues variables proposicionals i, per tant, $2^{2}=4$ interpretacions possibles. La matriu de la forma és:

Observem que una proposició d’aquesta forma només serà vertadera quan substituïm $q$ per una proposició falsa.   $\square$