1.7 Implicació lògica

Si $A$ i $B$ són dues formes proposicionals, llavors es diu que $A$ implica lògicament $B$ quan la forma $A\longrightarrow B$ és tautologia. Cal destacar que la implicació lògica és una relació entre formes proposicionals, que denotem per $\Longrightarrow$. D’aquesta manera, quan escrivim $A\Longrightarrow B$, que llegim abreujadament com "$A$ implica $B$", significa que $A\longrightarrow B$ és tautologia. Observa que hem usat en aquest document la paraula ïmplica"de dues maneres diferents. La primera, al parlar del condicional de dues proposicions $p$ i $q$, $p\rightarrow q$, què no necessàriament es una tautologia, mentre que la segona, fa un moment, quan la implicació sí és necessàriament una tautologia.

A la pràctica, el fet de tenir la implicació lògica $A\Longrightarrow B$ permet fer el següent argument: si $A\Longrightarrow B$ i $A$ és tautologia, aleshores necessariàment $B$ és tautologia. D’aquí surt una interpretació molt comú en matemàtiques: quan $A\Longrightarrow B$, aleshores $B$ es diu que és condició necessària per $A$, i també, que $A$ és condició suficient per $B$.

Per exemple, suposem que $n$ és un enter positiu, aleshores l’enunciat ‘si $n$ és divisible per $4$, llavors $n$ és divisible per $2$’, és cert i pot escriure’s com $P(n)\longrightarrow Q(n)$, on $P=$ ‘és divisible per $2$’ i $Q=$ ‘és divisible per $4$’. La condició ‘$n$ és divisible per $4$’ és suficient perquè ‘$n$ sigui divisible per $2$’, és a dir, només cal que $n$ sigui divisible per $4$ perquè sigui divisible per $2$. En canvi, la condició ‘$n$ és divisible per $2$’ és necessària perquè ‘$n$ és divisible per $4$’, o sigui, si $n$ no fos divisible per $2$, aleshores no seria divisible per 4.

Més endavant veurem que les implicacions lògiques seran extremadament útils per construir raonaments vàlids. En particular, s’utilitzaran àmpliament les següents implicacions lògiques: Si $A,B$ i $C$ són formes proposicionals, aleshores

1. 1.
   ​

   $(A\longrightarrow B)\wedge A$ $\Longrightarrow B$

2. 2.
   ​

   $(A\longrightarrow B)\wedge\lnot B\Longrightarrow\lnot A$

3. 3.
   ​

   (i) $A\wedge B$ $\Longrightarrow A$; (ii) $A\wedge B$ $\Longrightarrow B$

4. 4.
   ​

   (i) $A\Longrightarrow A\vee B$; (ii) $B\Longrightarrow A\vee B$

5. 5.
   ​

   (i) $\left(A\vee B\right)\wedge\lnot B\Longrightarrow A$; (ii) $\left(A\vee B\right)\wedge\lnot A\Longrightarrow B$

6. 6.
   ​

   (i) $A\longleftrightarrow B\Longrightarrow A\longrightarrow B$; (ii) $A\longleftrightarrow B\Longrightarrow B\longrightarrow A$

7. 7.
   ​

   $\left(A\longrightarrow B\right)\wedge\left(B\longrightarrow A\right)\Longrightarrow A\longleftrightarrow B$

8. 8.
   ​

   $\left(A\longrightarrow B\right)\wedge\left(B\longrightarrow C\right)\Longrightarrow A\longrightarrow C$

Per veure que $(A\longrightarrow B)\wedge A$ $\Longrightarrow B$ hem de comprovar que $(\left(A\longrightarrow B)\wedge A\right)$ $\longrightarrow B$ és tautologia. Construïm la taula de veritat corresponent:

i observem que efectivament és tautologia. Anàlogament es fa per les altres.