Introducció

Aquest document és una introducció als mètodes de raonament i demostració propis de les matemàtiques. El seu objectiu és proporcionar les eines lògiques necessàries per comprendre i construir arguments matemàtics vàlids i rigorosos.

La finalitat última és que l’estudiant sigui capaç de:

• •
  ​

  Entendre el significat precís dels enunciats matemàtics.

• •
  ​

  Analitzar la seva estructura lògica.

• •
  ​

  Construir demostracions correctes de resultats simples.

Per assolir-ho, el llibre està estructurat en tres grans blocs:

1. 1.
   ​

   Coneixements generals de Lògica (Capítol 1: seccions 1 a 11): S’introdueixen els conceptes bàsics de la lògica proposicional i de predicats. S’apren a treballar amb connectives lògiques (i, o, no, si…llavors…, si i només si), taules de veritat, tautologies, equivalències i regles d’inferència. Aquests elements són l’alfabet amb què s’escriuen les matemàtiques.

2. 2.
   ​

   Tècniques de Demostració (Capítol 1: secció 12): Es presenten i es practiquen les estratègies de demostració més comunes i essencials: demostracions directes, per contrarecíproc, per reducció a l’absurd, per inducció, per casos i per contraexemple. Aquestes són les "jugades"bàsiques del joc de demostrar.

3. 3.
   ​

   Pràctica i Aplicació (Capítols 2, 3 i 4): La part teòrica es consolida amb una àmplia col·lecció d’exercicis resolts, exercicis proposats i tests d’autoevaluació que permeten posar a prova la comprensió i aplicar els coneixements adquirits.

El document es tanca amb una molt breu mirada a com s’apliquen aquests principis en el context de teories axiomàtiques concretes, com la geometria euclidiana i l’aritmètica, il·lustrant que tot l’edifici matemàtic es construeix sobre els fonaments lògics que aquí es presenten (Capítul 1: secció 13).

Aquests apunts no només us prepararan per a assignatures futures sinó que, és el nostre desig, us obriran la porta a una visió més profunda i satisfactòria del fascinant món de les matemàtiques.

Com utilitzar aquest document? Es recomana llegir la teoria amb atenció, assegurant-se de comprendre cada concepte abans de passar al següent. Els exercicis de pràctica són una part indispensable de l’aprenentatge; no si val a saltar-se’n cap! Us animem a intentar resoldre’ls abans de mirar la solució proposada.