1.6 Tautologies i contradiccions

Una tautologia és una proposició que és vertadera per necessitat lògica. Una tautologia característica de la lògica clàssica és la proposició ‘$p$ o no $p$’, sent $p$ qualsevol proposició. Aquesta tautologia se la coneix també amb el nom de principi del tercer exclòs, segons el qual la disjunció d’una proposició i la seva negació és sempre vertadera. En efecte, la taula de veritat d’aquesta proposició és

on veiem que l’última columna hi ha només el valor V com era d’esperar. Es evident que la tautologia no té cap interés matemàtic perquè no informa de res, però permet simplificar a vegades les demostracions com veurem més endavant.

Ara bé, el concepte de tautologia té més sentit quan en lloc de tractar amb proposicions treballem en formes. Una forma és tautologia quan la matriu de la forma només genera proposicions vertaderes; en unes altres paraules, quan és certa en totes les circumstàncies possibles. Per exemple, la forma $A(p,q)=(p\wedge q)\longrightarrow(p\vee q)$ és tautologia perquè la seva taula és:

D’aquí surt el fet següent: qualsevol proposició composta de la forma ‘$(p\wedge q)\longrightarrow(p\vee q)$’ és una tautologia, independentment del que siguin les proposicions $p$ i $q$.

Una contradicció és una proposició que és falsa per necessitat lògica. De fet, tota contradicció és la negació d’una tautologia i, al contrari, tota tautologia és la negació d’una contradicció. La negació del principi del tercer exclòs és una contradicció coneguda com el principi de contradicció, segons el qual la conjunció d’una proposició i la seva negació és una proposició sempre falsa. És la proposició ‘$p$ i no$\leavevmode\nobreak\ p$’, sent $p$ qualsevol proposició. La taula de veritat d’aquesta proposició és

i veiem que l’última columna només té el valor F. De la mateixa manera que la tautologia, la contradicció té més sentit quan s’aplica a formes proposicionals. Una forma és contradicció quan la seva matriu només genera proposicions falses. Per exemple, segons el principi de contradicció la forma $\left(p\longrightarrow q\right)\wedge\lnot\left(p\longrightarrow q\right)$ és una contradicció. Podem comprovar-ho fent la seva matriu:

Per acabar, quan una forma proposicional no és tautologia ni contradicció es diu que és contingència; en unes altres  paraules, quan admet algunes proposicions vertaderes i altres falses per als valors de veritat de les variables proposicionals. Un exemple de contingència és la forma $(p\vee q)\longrightarrow(p\wedge q)$ perquè la seva matriu és:

Les formes proposicionals poden ser connectades amb operadors lògics per a formar noves formes proposicionals. D’aquesta manera, si $A$ i $B$ són formes, llavors $\lnot A$, $A\wedge B$, $A\vee B$, $A\longrightarrow B$ i $A\longleftrightarrow B$ representen noves formes proposicionals. Per exemple, si $A(p,q)=\lnot p\longrightarrow q$ i $B(p,r,s)=s\longrightarrow\left(p\vee\lnot r\right)$, aleshores $C(p,q,r,s)=A(p,q)\longrightarrow B(p,r,s)$, és a dir, $C(p,q,r,s)=\left(\lnot p\longrightarrow q\right)\longrightarrow\left(s\longrightarrow\left(p\vee\lnot r\right)\right)$. Observem que $A$ té $2^{2}=4$ interpretacions, $B$ en té $2^{3}=8$ interpretacions, i $C$ en té $2^{4}=16$ interpretacions.

Solució:  La forma conté 3 variables i per tant la matriu de la forma té $2^{3}=8$ interpretacions possibles. En lloc de fer la taula, podem raonar suposant que la forma s’interpretés com a contradicció. Aleshores existeix una valoració de les variables segons la qual l’implicación és falsa i, per tant, l’antecedent $\left(\lnot p\vee q\right)\wedge\left(\lnot r\longrightarrow q\right)$ és vertader i el conseqüent $p\longrightarrow r$ és fals. Ara bé, l’antecedent és vertader quan $\lnot p\vee q$ i $\lnot r\longrightarrow q$ són ambdues vertaderes, i el conseqüent és fals quan $p$ és vertader i $r$ és fals. Però si prenem aquesta interpretació, aleshores $\lnot p\vee q$ i $\lnot r\longrightarrow q$ no poden ser ambdues vertaderes perquè $\lnot p\vee q$ és vertadera només si $q$ és vertadera, però $\lnot r\longrightarrow q$ és aleshores falsa i, per tant, això no és possible. Com a conseqüència, concluïm que la forma no pot prendre el valor fals i, per tant, és tautologia.

Alternativament, si construïm la matriu de la forma es té:

i surt que és tautologia com era d’esperar.   $\square$