1.4 Proposicions elementals i compostes

Proposicions elementals són aquelles que no posseeixen cap operador lògic. Les proposicions compostes estan formades per altres proposicions i operadors lògics. Per exemple, a partir de dues proposicions elementals $p$ i $q$, podem formar com hem vist $\lnot q$ i $p\vee q$. Però també $p\wedge\lnot q$, i finalment, $\left(p\vee q\right)\longrightarrow\left(p\wedge\lnot q\right)$. Hem utilitzat els parèntesis per evitar ambigüetats. De fet, també hem utilitzat la convenció estàndard segons el qual el símbol de negació $\lnot$ té prioritat sobre les altres quatre connectives, però cap d’aquestes té prioritat sobre les altres. Per altra banda, és clar que $p\wedge\longrightarrow\lnot q$ no té cap sentit perquè no està ben formada. La raó, per exemple, està en que $\wedge$ connecta dues proposicions i, en el nostre cas, $\longrightarrow\lnot q$ no ho és.

Volem ara formalitzar l’enunciat següent: ‘Si no és cert que 34043 sigui una suma de dos quadrats, llavors 34043 és senar o és divisible per 3’. Identifiquem les següents proposicions simples: $p=$ ‘34043 sigui una suma de dos quadrats’, $q=$ ‘34043 és senar’, i $r=$ ‘34043 és divisible per 3’. Llavors l’enunciat s’escriu simbòlicament d’aquesta manera tenint en compte les connectives lògiques: $p\longrightarrow\left(q\vee r\right)$. Un altre exemple és la proposició ‘273 és divisible per 91, si 273 és múltiple de 7 i múltiple de 13’ és el condicional: ‘$P(273)\longrightarrow\left(Q(273)\wedge R(273)\right)$’, on $P$ és el predicat ‘ser divisible per 91’, $Q$ és ‘ser mútiple de 7’ i $R$ és ‘ser múltiple de 13’.

Donada una proposició composta, volem determinar el seu valor de veritat coneixent el valor de veritat de les proposicions simples que la conformen. Suposem la interpretació segons la qual les proposicions simples $p$ i $q$ són vertaderes i $r$ i $s$ són falses. Llavors, quin és el significat de la proposició composta $\lnot\left(p\vee q\right)\longrightarrow\left(r\wedge\lnot s\right)$?

La taula deduïm que la propocisió és falsa.

Donat el valor de veritat d’una proposició composta, ara volem determinar el valor de veritat de les proposicions simples que la conformen. Suposem que la proposició composta $\left(p\wedge\lnot q\right)\longrightarrow r$ és falsa. Llavors, com la connectiva principal d’aquesta proposició és el condicional. Atès que aquesta implicació té un valor de veritat fals únicament quan l’antecedent és vertader i el conseqüent és fals, s’obté que $p\wedge\lnot q$ és vertadera, i $r$ ha de ser falsa. Ara bé $p\wedge\lnot q$ és falsa només si $p$ i $q$ són vertadera i falsa, respectivament. Per tant, $p$ és vertadera i, $q$ i $r$, false