1.11 Definicions i la identitat

Quan, per exemple, en el conjunt dels nombres enters diem que $x$ és divisible per $y$ si i només si existeix un nombre enter $k$ tal que $x=ky$, simbòlicament

volem establir una definició del símbol ‘$\mid$’ donant el seu significat amb ajuda de termes ja coneguts com ‘nombre enter’, ‘producte’ (o ‘quocient’). De la mateixa manera, en el conjunt dels nombres reals diem que $x\leq y$ si i només si no és el cas que $x>y$, formalment,

establim la definició del símbol ‘$\leq$’ donant el seu significat amb ajuda del predicat ja conegut ‘$>$’. En aquest últim cas, per exemple, podem substituir en qualsevol proposició el predicat ‘$x\leq y$’ pel predicat ‘no és el cas que $x>y$’ sense que canvi el seu significat.

No volem donar una definició precisa de com cal construir correctament una definició, però tota definició pot adoptar la forma d’una equivalència lògica; el membre de l’esquerra ha de contenir allò que volem definir i, el de la dreta, allò que està ja ben definit o que el seu significat sigui comprensible immediatament, però mai hi ha d’aparèixer el que volem definir.

La noció d’identitat present en molts enunciats com "$x$ és idèntic a $y$’, ‘$x$ és el mateix que $y$’, o senzillament, ‘$x$ és igual a $y$’ i que abreugem simbòlicament per $x=y$ es pot definir des del punt de vista lògic amb l’ajut de la llei de Leibniz. D’acord amb aquesta llei, $x=y$ si i només si $x$ i $y$ tenen en comú totes les seves propietats. Observeu que aquest enunciat no pertany a la lògica proposicional perquè s’hauria de fer ús d’un quantificador sobre una variable que designa propietats d’objectes i no objectes com hem fet fins ara. Formalment, es té

on $Px$ designa una propietat que compleix $x$. Tot i això, a matemàtiques és més comú interpretar la relació d’identitat com una relació d’igualtat o de congruència dins d’un domini determinat d’objectes. Per exemple, en àlgebra diem que dos polinomis $A(x)$ i $B(x)$ són idèntitics si i només si $A(x)$ i $B(x)$ tenen el mateix grau i els coeficients dels monomis del mateix grau de cadascun dels polinomis són iguals. És evident que quan $x=y$ es vol significar que en tota proposició on aparegui $x$ pot substituir-se per $y$ si és necessari, i viceversa.

De la definició que hem donat s’obté de manera bastant evident que la relació d’igualtat compleix les tres propietats següents:

Reflexiva:

Tot objecte és igual a si mateix: $x=x$.

Simètrica:

Si $x=y$, llavors $y=x$.

Transitiva:

Si $x=y$ i $y=z$, llavors $x=z$.

Afegint al llenguatge de la lògica proposicional el símbol d’igualtat, els quantificadors i variables per referir-nos a predicats s’obté el llenguatge de la lògica de predicats o també anomenada lògica de primer ordre. Si afegim també les regles d’inferència dels quantificadors, podem tractar un punt essencial de les matemàtiques que són les demostracions. És clar que no hem tractat gens la lògica de predicats, però volem observar que compleix el teorema de completesa, però no és decidible si algun dels seus predicats té més d’una variable. Tots aquests resultats poden trobar-se en qualsevol llibre de lògica de predicats avançat.