4.2 Aplicaciones i Cardinals

Quin de les següents relacions $R$ entre $A$ i $B$ és una aplicació d’$A$ en $B$?

1. (a)
   ​

   $A=\left\{1,2,3,4,5\right\}$, $B=\left\{1,2\right\}$ i $R=\left\{(1,1),(3,2),(5,1),(4,1)\right\}$

2. (b)
   ​

   $A=B=\mathbb{R}$ i $R=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:x+y^{3}=0\right\}$ *

3. (c)
   ​

   $A=B=\mathbb{R}$ i $R=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:xy=1\right\}$

4. (d)
   ​

   $A=B=\mathbb{R}$ i $R=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:y=\sqrt{x-1}\right\}$

Es defineix l’aplicació $f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ mitjançant $f(x)=x^{2}+4$. Llavors,

1. (a)
   ​

   $f^{-1}(\left\{0\right\})=\{-2,2\}$

2. (b)
   ​

   $f\left([0,1]\right)=[0,1]$

3. (c)
   ​

   $f^{-1}\left((0,4)\right)=(0,2)$

4. (d)
   ​

   Cap de les anteriors és certa *

La gràfica d’una aplicació $f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ és

llavors:

1. (a)
   ​

   $f$ és injectiva

2. (b)
   ​

   $f$ és exhaustiva

3. (c)
   ​

   $f:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ [0,1]$ és bijectiva *

4. (d)
   ​

   $f:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ és exhaustiva

Considerem les aplicacions: $f:\mathbb{R}-\{-2\}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}-\{3\}$ definida per

i $g:\mathbb{R}-\{3\}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ definida per $g(x)=x^{3}$. Llavors, quin de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   $f$ és bijectiva i $f^{-1}(x)=\frac{3-2x}{x-3}$

2. (b)
   ​

   $g$ és bijectiva i $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ *

3. (c)
   ​

   $f\circ g$ no és aplicació

4. (d)
   ​

   $g\circ f$ és injectiva i $(g\circ f)(x)=\left(\frac{3+3x}{x+2}\right)^{3}$

Sigui $f:A\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ B$ una aplicació i suposem que $\#A=n$ i $\#B=m$. Llavors:

1. (a)
   ​

   Si $f$ és injectiva, llavors $n\leq m$ *

2. (b)
   ​

   Si $f$ és exhaustiva, llavors $n\leq m$

3. (c)
   ​

   Si $n=m$, llavors $f$ és bijectiva

4. (d)
   ​

   No pot ocórrer que $n<m$

Si $f,g$ són aplicacions d’en $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ tals que $g(x)=x^{3}$ i $(g\circ f)(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$. Llavors:

1. (a)
   ​

   $f(x)=x+1$

2. (b)
   ​

   $f(x)=1-x$ *

3. (c)
   ​

   $f(x)=x-1$

4. (d)
   ​

   $f(x)=-1-x$

Sigui $f:A\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ B$ una aplicació i considerem $X,Y\subset A$ i $Z,T\subset B$, llavors

1. (a)
   ​

   $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$

2. (b)
   ​

   $f^{-1}\left(f(X)\right)=X$

3. (c)
   ​

   $f^{-1}(Z\cap T)=f^{-1}(Z)\cap f^{-1}(T)$ *

4. (d)
   ​

   $f\left(f^{-1}(Z)\right)=Z$

Efectuant una mostra de 1000 individus s’observa que mengen peix i carn però no ous 60, peix i ous però no carn 40, carn i ous però no pescat 30, només pescat 50, només carn 40 i només ous 30. Tots mengen carn, ous o peix. Quants mengen peix?

1. (a)
   ​

   900 *

2. (b)
   ​

   750

3. (c)
   ​

   800

4. (d)
   ​

   Cap de les anteriors

En una classe de 100 alumnes que s’han examinat de matemàtiques i Física es coneixen els següents resultats: No han aprovat cap assignatura 20 alumnes. Han aprovat les dues assignatures 25 alumnes. Han aprovat el doble d’alumnes Matemàtiques que Física. ¿Quants alumnes han aprovat Matemàtiques?

1. (a)
   ​

   10

2. (b)
   ​

   20

3. (c)
   ​

   35

4. (d)
   ​

   45 *

En el conjunt dels nombres naturals menors que 500, ¿quants números cal no siguin múltiples de 2, ni de 3, ni de 5?

1. (a)
   ​

   120

2. (b)
   ​

   134 *

3. (c)
   ​

   100

4. (d)
   ​

   Cap de les anteriors