4.1 Conjunts i Relacions

Donat el conjunt $A=\left\{-1,0,1\right\}$, quin dels següents conjunts coincideix amb $A$?

1. (a)
   ​

   $\left\{x\in\mathbb{N}:x^{3}-x=0\right\}$

2. (b)
   ​

   $\left\{x\in\mathbb{Q}:x^{2}\leq 1\right\}$

3. (c)
   ​

   $\left\{x\in\mathbb{R}:x^{2}-1=0\right\}$

4. (d)
   ​

   $\left\{x\in\mathbb{Z}:x^{2}\leq 1\right\}$ *

Sabent que $A=\left\{a,\left\{a\right\},\left\{a,\left\{a\right\}\right\}\right\}$ i $B=\left\{\left\{a\right\}\right\}$, quin de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   $B\subset A$

2. (b)
   ​

   $a\in B$ *

3. (c)
   ​

   $\left\{a\right\}\subset A$

4. (d)
   ​

   $\left\{a,\left\{a\right\}\right\}\in A$

Donat el conjunt $A=\left\{a,\left\{a\right\}\right\}$, quin de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   $\left\{\left\{a\right\}\right\}\subset\mathcal{P}(A)$ *

2. (b)
   ​

   $\left\{a\right\}\in\mathcal{P}(A)$

3. (c)
   ​

   $\left\{\emptyset\right\}\subset\mathcal{P}(A)$

4. (d)
   ​

   $\left\{a,\left\{a\right\}\right\}\in\mathcal{P}(A)$

Donat el conjunt referencial $E=\{1,2,3,4,5,6\}$ i els subconjunts $A=\left\{x\in E:x\text{ \'{e}s parell}\right\}$, $B=\left\{x\in E:x\text{ \'{e}s m\'{u}ltiple de 3}\right\}$ i $C=\left\{x\in E:2\leq x\leq 6\right\}$, llavors

1. (a)
   ​

   $A\cap B\cap C=\emptyset$

2. (b)
   ​

   $\left(A\cup B\right)\cap C=C$

3. (c)
   ​

   $\complement\left(A\cup B\cup C\right)=\left\{1\right\}$ *

4. (d)
   ​

   $A\cup(B\cap C)=C$

Donat el conjunt referencial $E$ i els subconjunts $A,B$ i $C$. En simplificar l’expressió

s’obté:

1. (a)
   ​

   $A$

2. (b)
   ​

   $B$ *

3. (c)
   ​

   $C$

4. (d)
   ​

   $E$

En el conjunt dels nombres naturals es consideren les següents relacions

Quin de les següents afirmacions és certa?

1. (a)
   ​

   $R_{1}$ i $R_{3}$ són transitives

2. (b)
   ​

   $R_{1}$ és simètrica i $R_{3}$ és antisimètrica

3. (c)
   ​

   $R_{1}$ i $R_{3}$ són reflexives

4. (d)
   ​

   $R_{2}$ és antisimètrica i $R_{3}$ és simètrica *

En el conjunt dels nombres reals es consideren les següents relacions

quin de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   $R_{1}$ i $R_{2}$ són relacions d’equivalència

2. (b)
   ​

   La classe d’equivalència de $0$, segons $R_{1}$, és $\left[0\right]_{1}=\left\{0\right\}$ i, segons $R_{2}$, és $\left[0\right]_{2}=\{0\}$

3. (c)
   ​

   La classe d’equivalència de $1$, segons $R_{1}$, és $\left[1\right]_{1}=\left\{1,-1\right\}$ i, segons $R_{2}$, és $\left[1\right]_{2}=\{1,-2\}$

4. (d)
   ​

   $R_{1}$ no és una relació d’equivalència i $R_{2}$ sí que ho és *

En el conjunt dels nombres naturals ordenat per la relació "ser divisor deçonsideren els conjunts $A=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ i $B=\left\{3,4,6,12\right\}$. Llavors, quin de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   $3$ i $4$ són elements minimals de $B$

2. (b)
   ​

   Els elements maximals de $A$ so $6,8$ i $9$ *

3. (c)
   ​

   $\sup A=2520$

4. (d)
   ​

   $\max B=12$

En el conjunt dels nombres reals ordenat segons la relació d’ordre usual $\leq$ es considera el conjunt

Llavors, quin de les següents afirmacions és vertadera?

1. (a)
   ​

   $\sup A=-1$ *

2. (b)
   ​

   $-3$ és cota inferior d’$A$

3. (c)
   ​

   $\max A=-1$

4. (d)
   ​

   $\min A=-5$

En el conjunt dels número sencers es considera la relació següent

Si designem per la $\left[x\right]$ classe de l’element $x$ segons $\equiv$, llavors quin de les següents afirmacions és veritable?

1. (a)
   ​

   $231\in\left[1\right]$

2. (b)
   ​

   $\left[-2\right]=\left[4\right]$

3. (c)
   ​

   $-5\in\left[2\right]$ *

4. (d)
   ​

   Cap de les anteriors