Capítol 3 Exercicis proposats

Donats els conjunts següents

Troba $A\cap B$, $C\cup D$, $C\cap D$, $\complement A$ i $A\cap(C\cup D)$.

Solució: $A\cap B$ és el conjunt de múltiples de 6, $C\cup D=\left\{x:x=2n+1\text{ \ i \ }n\in\mathbb{N}\right\}$, $C\cap D=\emptyset$, $\complement A$ és el conjunt dels nombres imparells, i $A\cap(C\cup D)=\emptyset$.

Sigui $U$ l’univers dels conjunts $A,B$ i $C$. Simplifica les següents expressions:

1. a)
   ​

   $(A\cap B)\cup(A\cap\complement B)\cup(\complement A\cap B)\cup(\complement A\cap\complement B)$

2. b)
   ​

   $\left[(A\cup B)\cap\complement\left(B\cap\complement A\right)\right]\cup\left[(A\cap B)\cup\complement\left(B\cup\complement A\right)\right]$

3. c)
   ​

   $(A\cap B)\cup(A\cap C)\cup\complement\left(\complement A\cup\complement B\right)$

4. d)
   ​

   $(A\cap B)\cup(A\cap\complement B)\cup(\complement A\cap C)\cup(A\cap C)$

Solució: a) $U$, b) $A$, c) $A\cap(B\cup C)$ i d) $A\cup C$

Si $\#P\left(A\cup\mathcal{P}(A)\right)=8$, calcula $\#A$.

Solució: $\#A=1$

Una empresa ofereix places d’electricista, de mecànic i de fuster. Sabem que 12 persones sol·liciten plaça d’electricista, 12 de mecànic, 15 de fuster, 3 d’electricista i mecànic, 4 de mecànic i fuster, 5 d’electricista i fuster i, finalment, 1 sol·licita plaça de les tres coses. Calcula quanta gent ha fet alguna sol·licitud.

Solució: 28 persones

En una reunió hi ha 25 persones que són mèdics, músics o polítics. Hi ha 20 metges, 12 músics i 17 polítics. Hi ha 8 que són mèdics i músics, 12 que són mèdics i polítics i 11 que són músics i polítics. (a) Quants polítics són músics i metges alhora? (b) Quantes persones hi ha amb una sola professió?

Solució: (a) 7 i (b) 8

D’un grup de 1000 persones, 950 porten rellotge, 750 porten paraigua, 800 porten corbata i 850 porten barret. Troba el nombre mínim de persones que porten les quatre coses.

Solució: 350

Comprova si les següents col·leccions de conjunts formen una partició de $\mathbb{N}$

1. a)
   ​

   $A=\left\{2n:n\in\mathbb{N}\right\}$ i $B=\left\{2n-1:n\in\mathbb{N}\right\}$

2. b)
   ​

   $A$ és el conjunt dels nombres primers entre si, $B=\left\{2,4,6,8,9\right\}$ i $C=\left\{x\in\mathbb{N}:x\geq 10\right\}$

3. c)
   ​

   $A=\left\{2n:n\in\mathbb{N}\right\}$, $B=\left\{2n-1:n\in\mathbb{N}\right\}$ i $C=B=\left\{5n:n\in\mathbb{N}\right\}$

Solució: a) Sí, b) No, c) No

En el conjunt $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ es defineix la relació

(a) Escriu el graf de la relació i (b) estudia les seves propietats.

Solució: (a) $R=\left\{\begin{array}[]{c}(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),\\ (2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)\end{array}\right\}$ (b) $R$ és reflexiva, antisimètrica i transitiva.

Quina relació binària sobre un conjunt és simètrica i antisimètrica?

Solució: La relació d’igualtat.

De les següents relacions, quines són d’equivalència? I en cas de ser-ho, quines són les seves classes?

1. a)
   ​

   “Tenir la mateixa altura” en el conjunt dels alumnes d’una classe

2. b)
   ​

   “Ser equipol·lent” en el conjunt dels vectors fixos del pla

3. c)
   ​

   “Equidistar d’un punt fix donat” en el conjunt dels punts del pla

4. d)
   ​

   “Estar alineats amb un punt fix donat” en el conjunt de parells de punts del pla sense el punt fix donat

   Solució: (a) És d’equivalència i els alumnes queden classificats segons les seves altures (b) És d’equivalència i les classes són els vectors lliures del pla (c) És d’equivalència i les classes són les circumferències de centre el punt fix donat (d) És d’equivalència i les classes són les rectes que passen pel punt fix donat sense contenir aquest punt.

En el conjunt dels nombres reals es defineix la relació

on $\left\lfloor y\right\rfloor$ significa la part sencera del nombre real $x$. És una relació d’equivalència? Si ho és, quines són les seves classes?

Solució: Observa que $x\sim y$ si i només si existeix un nombre enter $n$ tal que $x,y\in[n,n+1)$. És una relació d’equivalència i les classes són els intervals de la forma $[n,n+1)$ amb $n\in\mathbb{Z}$.

Esbrina si la relació “$x$ divideix $y$” és d’ordre en cadascun dels conjunts que s’indiquen a continuació, i, en el cas que ho sigui, és parcial o total? Troba els seus elements maximals i minimals.

1. a)
   ​

   En el conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$

2. b)
   ​

   En el conjunt dels nombres enters $\mathbb{Z}$

Solució: (a) És d’ordre parcial, $1$ és minimal i no hi ha elements maximals. (b) No és d’ordre

En el conjunt dels nombres reals ordenat segons la relació d’ordre usual $\leq$ es consideren els següents subconjunts (a) $A=[1,5]$, (b) $B=(-2,-1]$, (c) $C=(\pi,2\pi)$, (d) $D=[2,+\infty)$, (e) $E=(-5,+\infty)$ i (f) $F=(-\infty,0)$. Calcula, si existeixen, mínim, màxim, ínfim i suprem de cadascun d’ells.

Solució: (a) $\min A=\inf A=1$ i $\max A=\sup A=5$, (b) $\inf B=-2$ i $\max B=\sup B=-1$, (c) $\inf C=\pi$ i $\sup C=2\pi$, (d) $\min D=\inf D=2$, (e) $\inf E=-5$, (f) $\sup F=0$

En el conjunt $A=\{2,3,5,6,15\}$ es defineix la relació

(a) És una relació d’ordre? És parcial o total? (b) Troba màxim, mínim, suprem i ínfim de $B=\{2,3,6,15\}$. (c) Troba màxim, mínim, suprem i ínfim de $A$. (d) Hi ha elements maximals i minimals d’$A$?

Solució: (a) És d’ordre parcial (b) No existeixen $\max B$, $\min B$, $\sup B$, $\inf B$. (c) No existeixen $\max A$, $\min A$, $\sup A$, $\inf A$. (d) $2,3,5$ són minimals i $6,15$ són maximals.

Es donen els conjunts $A=\{2,3,4,7,8\}$ i $B=\{1,2,3,4,5,7,9\}$. Sigui $f:A\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ B$ l’aplicació definida per

Estudia quina classe d’aplicació s’obté.

Solució: És una aplicació injectiva

Donades les aplicacions $f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ definida per $f(x)=e^{x}$ i $g:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ definida per $g(x)=\sqrt{x}$. (a) De quina classe d’aplicacions són $f$ i $g$? (b) Canvia els conjunts de sortida i d’arribada de l’aplicació $f$ perquè sigui bijectiva. (c) Canvia els conjunts de sortida i d’arribada de l’aplicació $g$ perquè sigui bijectiva. (d) Calcula les aplicacions inverses de les aplicacions de l’apartat (c). (e) Calcula si és possible $f\circ g$ i $g\circ f$.

Solució: (a) $f$ és injectiva però no exhaustiva i $g$ és injectiva però no exhaustiva. (b) L’aplicació $f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ (0,+\infty)$ definida per $f(x)=e^{x}$ és bijectiva. (c) L’aplicació $g:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ [0,+\infty)$ definida per $g(x)=\sqrt{x}$ és bijectiva. (d) $f^{-1}:(0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ amb $f^{-1}(x)=\ln x$ i $g^{-1}:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ [0,+\infty)$ amb $g^{-1}(x)=x^{2}$. (e) $f\circ g:[0,+\infty)\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ amb $(f\circ g)(x)=e^{\sqrt{x}}$ i $g\circ f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ amb $(g\circ f)(x)=\sqrt{e^{x}}$ ja que $\mathop{\mathrm{I}m}f=(0,+\infty)\subset[0,+\infty)$.

Donada l’aplicació $f:\mathbb{R}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}$ definida per $f(x)=2x+1$, calcula $f(A)$ i $f^{-1}(A)$ en els casos següents: (a) $A=[1,3]$, (b) $A=[-2,-1)$, (c) $A=[1,+\infty)$ i (d) $A=(-\infty,-2)$.

Solució: (a) $f(A)=[3,7]$ i $f^{-1}(A)=[0,1]$, (b) $f(A)=[-3-1)$ i $f^{-1}(A)=[-3/2,-1)$, (c) $f(A)=[3,+\infty)$ i $f^{-1}(A)=[0,+\infty)$ i (d) $f(A)=(-\infty,-3)$ i $f^{-1}(A)=(-\infty,-3/2)$.

Sigui $f:\mathbb{R}-\{1\}\leavevmode\nobreak\ \longrightarrow\leavevmode\nobreak\ \mathbb{R}-\{3\}$ definida per

Demostra que és bijectiva i calcula l’aplicació inversa.

Solució: Cal demostrar que és injectiva i exhaustiva. L’aplicació inversa és