2.2 Relacions

Solució:  (1) En $\mathbb{N}$ considerem la relació “Ser divisor de”. És evident que la relació és reflexiva (Tot nombre natural és divisor de si mateix) i, per tant, no és irreflexiva ni asimètrica. Tampoc és simètrica (Per exemple, $3$ és divisor d’i, $6$ en canvi, $6$ no és divisor de $3$). És evident que la relació és antisimètrica i transitiva.

(2) En $\mathbb{N}$ considerem la relació “Ser quadrat de”. És evident que la relació no és reflexiva (Per exemple, $3$ no és quadrat de $3$). Tampoc és irreflexiva ja que $1$ és quadrat de si mateix. No és asimètrica ni simètrica però, en canvi, sí que és antisimètrica. No és transitiva (Si $a=b^{2}$ i $b=c^{2}$, llavors $a=(c^{2})^{2}=c^{4}\neq c^{2}$).

(3) En el conjunt dels triangles del pla considerem la relació “Tenir igual àrea que”. És evident que aquesta relació és reflexiva, simètrica i transitiva.

(4) En el conjunt de les rectes de l’espai considerem la relació “Ser perpendicular”. És evident que la relació no és reflexiva (Cap recta és perpendicular a si mateixa). És irreflexiva, simètrica i no transitiva, com pot comprovar-se de seguida.

(5) En conjunt dels habitants de la terra considerem la relació “Tenir el mateix color d’ulls que”. És evident que aquesta relació és reflexiva, simètrica i transitiva.   $\square$

Solució:  (a) La relació és reflexiva, doncs, per a tot $x\in\mathbb{R}$ es compleix

També és simètrica, doncs, si $\left|x-y\right|<1$, llavors

En canvi, la relació no és transitiva, ja que $\left(-1,-0.5\right)\in R$ i $\left(-0.5,0.25\right)\in R$ i, en canvi, $\left(-1,0.25\right)\notin R$ perquè

Per consegüent, aquesta relació no és d’equivalència.

(b) La relació és evidentment reflexiva, simètrica i transitiva. Per tant, la relació és d’equivalència. La classe d’un element arbitrari $a\in\mathbb{R}-\left\{0\right\}$ és

Per tant, si $b\in\mathbb{Q}-\left\{0\right\}$, llavors

En resum, hi ha dos tipus de classes d’equivalència: les classes de la forma $\left[a\right]$ amb $a\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ i la classe formada per tots els nombres racionals no nuls.   $\square$

Solució:  (a) La relació $\equiv$ és d’equivalència, perquè es compleixen les propietats

1. 1.
   ​

   Reflexiva: $x\equiv x$, per a tot $x\in\mathbb{Z}$, ja que $x-x=0$ és múltiple de $5$.

2. 2.
   ​

   Simètrica: $x\equiv y$ implica $y\equiv x$ per a tot $x,y\in\mathbb{Z}$, ja que si $x-y$ és múltiple de $5$, també ho és $-(x-y)=y-x$.

3. 3.
   ​

   Transitiva: $x\equiv y$ i $y\equiv z$ implica $x\equiv z$ per a tot $x,y,z\in\mathbb{Z}$, ja que si $x-y$ i $y-z$ són múltiples de $5$, també ho és la seva suma $x-z$.

(b) Considerem un nombre enter arbitrari $a$ i determinem la seva classe d’equivalència. Tenim,

Per tant, distingim 5 classes d’equivalència:

Per tant, el conjunt quocient és

(c) És clar que

i, per tant, $127\in\left[2\right]$. Aleshores, un representant $x$ de la classe a la que pertany $127$ que compleixi $8<x<15$ és $12$. De la mateixa manera, observa primer que

i, per tant, $-34\in\left[-4\right]=\left[1\right]$. Per tant, un representant $y$ a la que pertany $-34$ que compleixi $5<y<10$ és $6$.   $\square$

Solució:  (a) La relació $\sim$ és d’equivalència, doncs es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: En efecte, per a tot $(a,b)\in A\times A$, es compleix $a+b=b+a$ i, per tant, $(a,b)\sim(a,b)$.

• •
  ​

  Simètrica: En efecte, per a tot $(a,b),(c,d)\in A\times A$, si $(a,b)\sim(c,d)$, és a dir si $a+d=b+c$, llavors $c+b=d+a$ i, per tant, $(c,d)\sim(a,b)$.

• •
  ​

  Transitiva: En efecte, per a tot $(a,b),(c,d),(e,f)\in A\times A$, si $(a,b)\sim(c,d)$ i $(c,d)\sim(e,f)$, és a dir si

  $$\begin{array}[]{c}a+d=b+c\\ c+f=d+e\end{array}$$

  llavors, sumant membre a membre totes dues igualtats, obtenim

  $$a+d+c+f=b+c+d+e$$

  i d’aquí, simplificant, obtenim

  $$a+f=b+e$$

  i, per tant, $(a,b)\sim(e,f)$.

(b) Considerem un element arbitrari $(a,b)$ de $A\times A$ i determinem la seva classe d’equivalència. Observa primer que

per a tot $k\in A$ i, per tant,

per a tot $k\in A$. D’aquí, obtenim que

són classes d’equivalència d’aquesta relació.

En general,

• •
  ​

  si $a>b$, llavors es compleix

  $$\left[(a,b)\right]=\left[(a-b,0)\right]$$
• •
  ​

  si $a=b$, llavors

  $$\left[(a,b)\right]=\left[(0,0)\right]$$
• •
  ​

  si $a<b$, llavors

  $$\left[(a,b)\right]=\left[(0,b-a)\right]$$

Per consegüent, hi ha tantes classes d’equivalència en el conjunt quocient com a nombres enters.

$\square$

Solució:  (a) La relació $\sim$ és d’equivalència, perquè es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: En efecte, per a tot $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}-\left\{0\right\}\right)$ es compleix $ab=ba$ i, per tant, $(a,b)\sim(a,b)$.

• •
  ​

  Simètrica: En efecte, per a tot $(a,b),(c,d)\in\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}-\left\{0\right\}\right)$, si $(a,b)\sim(c,d)$, és a dir si $ad=bc$, llavors $cb=da$ i, per tant, $(c,d)\sim(a,b)$.

• •
  ​

  Transitiva: En efecte, per a tot $(a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}-\left\{0\right\}\right)$, si $(a,b)\sim(c,d)$ y $(c,d)\sim(e,f)$, o sigui si

  $$\begin{array}[]{c}ad=bc\\ cf=de\end{array}$$

  Llavors, multiplicat la primera igualtat per $f\neq 0$, s’obté

  $$adf=bcf$$

  D’aquí, mitjançant la segona igualtat, obtenim

  $$adf=bde$$

  Ara, dividint per $d\neq 0$, es dedueix

  $$af=be$$

  i, per tant, $(a,b)\sim(e,f)$.

(b) Considerem un element arbitrari $(a,b)$ de $\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}-\left\{0\right\}\right)$ i determinem la seva classe d’equivalència. Observa primer que

per tot $k\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}$ i, per tant,

per tot $k\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}$. D’aquí, s’obté

són classes d’equivalència d’aquesta relació.

En general, hi ha tantes classes d’equivalència en el conjunt quocient com a números de la forma $a/b$, amb $a\in\mathbb{Z}$ i $b\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}$, és a dir, com a nombres racionals.

$\square$

Solució:  (a) La relació $\sim$ és d’equivalència, perquè es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: Donat qualsevol $x\in\mathbb{R}$, si $n$ és el menor nombre enter que és major o igual que $x$, llavors $x\in(n-1,n]$ i, per tant, $x\sim x$.

• •
  ​

  Simètrica: És evident que $x\sim y$ implica $y\sim x$ per a tot $x,y\in\mathbb{R}$.

• •
  ​

  Transitiva: En efecte, si $x\sim y$, llavors existeix $n\in\mathbb{Z}$ tal que $x,y\in(n-1,n]$. A més, si $y\sim z$, llavors també es compleix que $y,z\in(n-1,n]$. Aleshores, $x,z\in(n-1,n]$ i, per tant, $x\sim z$.

És clar que la classe d’equivalència de qualsevol $a\in\mathbb{R}$ és l’interval $(n-1,n]$ tal que $a\in(n-1,n]$. A més, qualsevol altre nombre real d’aquest interval està relacionat amb $a$ i, per tant, la seva classe coincideix amb la de $a$. En definitiva, les classes del conjunt quocient són els intervals de la forma $(n-1,n]$ amb $n\in\mathbb{Z}$.

(b) En tractar-se d’una relació d’equivalència, el conjunt quocient format pels intervals de la forma $(n-1,n]$, amb $n\in\mathbb{Z}$, constitueixen una partició de $\mathbb{R}$.   $\square$

Solució:  La relació és d’ordre parcial ja que es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: Per a tot $x\in\mathbb{R}$, és evident que $x\leq x$.

• •
  ​

  Antisimètrica: Per a tot $x,y\in\mathbb{R}$, si $x\leq y$ i $y\leq x$, és clar que $x=y$.

• •
  ​

  Transitiva: Per a tot $x,y,z\in\mathbb{R}$, si $x\leq y$ i $y\leq z$, llavors és evident que $x\leq z$.

La relació és d’ordre total ja que per a qualsevol parell d’elements $x,y\in\mathbb{R}$ es compleix $x\leq y$ o bé $y\leq x$. És clar que no hi ha elements maximals ni minimals en aquesta relació.   $\square$

Solució:  La relació és d’ordre parcial ja que es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: Per a tot $X\in\mathcal{P}(A)$, és evident que $X\subset X$.

• •
  ​

  Antisimètrica: Per a tot $X,Y\in\mathcal{P}(A)$, si $X\subset Y$ i $Y\subset X$, és clar que $X=Y$.

• •
  ​

  Transitiva: Per a tot $X,Y,Z\in\mathcal{P}(A)$, si $X\subset Y$ i $Y\subset Z$, llavors és evident que $X\subset Z$.

La relació no és d’ordre total ja que, per exemple, si $X\in\mathcal{P}(A)$, llavors $A-X\in\mathcal{P}(A)$ i $X$ no és subconjunt de $A-X$ ni $A-X$ és subconjunt de $X$. És evident que $A$ és un element maximal i $\emptyset$ és un element minimal en $\mathcal{P}(A)$ segons aquesta relació.   $\square$

Solució:  És clar que

$\square$

Solució:  (a) La relació $\mid$ és d’ordre, ja que es compleixen les propietats:

• •
  ​

  Reflexiva: Per a tot $x\in A$ és evident que es compleix $x\mid x$.

• •
  ​

  Antisimètrica: Per a tot $x,y\in A$, si $x\mid y$ i $y\mid x$, és clar que $x=y$.

• •
  ​

  Transitiva: Per a tot $x,y,z\in A$, si $x\mid y$ i $y\mid z$, és també clar que $x\mid z$.

La relació no és d’ordre total ja que $4,5\in A$ i $4\nmid 5$ ni $5\nmid 4$.

(b) Una representació gràfica d’aquesta relació és

A partir d’ella, és evident que $\sup B=60$, $\inf B=1$, i no existeixen màxim ni mínim de $B$.

(c) A partir del mateix gràfic de l’apartat anterior, és clar que $\sup A=\max A=60$ i $\inf A=\min A=1$.

(d) Els elements maximal i minimal de $A$ són, respectivament, $60$ i $1$.   $\square$

Solució:  (a) Una representació gràfica de la relació és

(b) Per al conjunt $B$ només hi ha una cota inferior $6$ i té $1$ i $2$ com a cotes superiors. Llavors, és clar que $\sup B=1$ i $\inf B=6$.

(c) Per al conjunt $A$, observant el gràfic de la relació, es té que $3$ i $6$ són elements minimals i només hi ha un element maximal $2$. Per tant, no hi ha mínim d’$A$ i $\max A=2$.   $\square$

Solució:  (a) $\mathbb{Q}$ no està ben ordenat ja que no té element mínim.

(b) El conjunt de nombres enters majors que $9$ està ben ordenat perquè és un subconjunt de $\mathbb{N}$, que està ben ordenat.

(c) El conjunt de nombres enters parells menors que $0$ no està ben ordenat ja que no té element mínim.

(d) El conjunt de nombres enters positius múltiples d’està $5$ ben ordenat perquè és un subconjunt de $\mathbb{N}$, que està ben ordenat.   $\square$