2.1 Conjunts

Exercici 2.1.

Escriu simbòlicament els conjunts següents i determina els seus elements en cada cas:

1.

El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és $12$ .
2.

El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és $-9$ .
3.

El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és major o igual que $0$ .
4.

El conjunt dels nombres naturals compresos entre $3/2$ i $13/3$ .
5.

El conjunt dels nombres reals que són solució de l’equació $3x-1=10$ .
6.

El conjunt dels nombres enters que són solució de l’equació $3x-1=10$ .

Solució: (1) El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és $12$ s’escriu com segueix

	$\displaystyle A$	$\displaystyle=\left\{x\in\mathbb{R}:x^{2}=12\right\}$
		$\displaystyle=\left\{-2\sqrt{3},2\sqrt{3}\right\}\text{.}$

(2) El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és $-9$ és el conjunt buit, ja que no hi ha cap nombre real el quadrat del qual sigui negatiu.

(3) El conjunt dels nombres reals tals que el seu quadrat és major o igual que $0$ s’escriu com segueix

	$\displaystyle C$	$\displaystyle=\left\{x\in\mathbb{R}:x\geq 0\right\}$
		$\displaystyle=[0,+\infty)\text{.}$

(4) El conjunt dels nombres naturals compressos entre $3/2$ i $13/3$ és

	$\displaystyle D$	$\displaystyle=\left\{x\in\mathbb{N}:3/2\leq x\leq 13/3\right\}$
		$\displaystyle=\left\{2,3,4\right\}\text{.}$

(5) El conjunt dels nombres racionals que són solució de l’equació $3x-1=10$ és

	$\displaystyle E$	$\displaystyle=\left\{x\in\mathbb{Q}:3x-1=10\right\}$
		$\displaystyle=\left\{\frac{11}{3}\right\}\text{.}$

(6) El conjunt dels nombres enters que són solució de l’equació $3x-1=10$ és el conjunt buit perquè no existeix cap nombre enter que multiplicat per $3$ doni 11. $\square$

Exercici 2.2.

Defineix els següents conjunts mitjançant una condició que compleixen tots els seus elements:

1.

$\left\{5\right\}$
2.

$\left\{1,3,5,7,9,11\right\}$
3.

$\left\{-1,0,1\right\}$

Solució: (1) És clar que

\left\{5\right\}=\left\{x\in\mathbb{N}:4<x<6\right\}\text{.}

(2) És clar que

\left\{1,3,5,7,9,11\right\}=\left\{x\in\mathbb{N}:x\text{ \'{e}s senar i }x\leq 11\right\}\text{.}

(3) És clar que

\left\{-1,0,1\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}:x^{3}-x=0\right\}

$\square$

Exercici 2.3.

Són iguals els conjunts

A=\left\{x:x\text{ \'{e}s una lletra de la paraula \textquotedblleft matem\`{a% }tica\textquotedblright}\right\}

B=\left\{a,m,i,c,t,e\right\}

Per què?

Solució: És evident que

A=\left\{m,a,t,e,i,c\right\}

i, per tant, $A=B$ , ja que tenen els mateixos elements. $\square$

Exercici 2.4.

Calcula el conjunt de parts dels conjunts següents: (1) $A=\left\{1\right\}$ ; (2) $B=\left\{1,2\right\}$ ; (3) $C=\left\{1,2,3\right\}$ .

Solució: (1) Si $A=\left\{1\right\}$ , llavors

\mathcal{P}(A)=\left\{\emptyset,A\right\}\text{.}

(2) Si $B=\left\{1,2\right\}$ , llavors

\mathcal{P}(B)=\left\{\emptyset,\left\{1\right\},\left\{2\right\},B\right\}% \text{.}

(3) Si $C=\left\{1,2,3\right\}$ , llavors

\mathcal{P}(C)=\left\{\emptyset,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3% \right\},\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},C\right\}% \text{.}

$\square$

Exercici 2.5.

Donat el conjunt $A=\left\{a,b,c\right\}$ , quines són vertaderes de les següents expressions?

\begin{array}[]{cccccccc}a)&a\in A&&b)&\left\{b\right\}\in A&&c)&c\subset A\\ d)&\left\{c\right\}\subset A&&e)&\left\{a,b,c\right\}\subset A&&f)&A\in A\end{array}

Solució: a) És clar que $a$ és element d’ $A$ i, per tant, és cert que $a\in A$ .

b) $\left\{b\right\}\in A$ és falsa, ja que $\left\{b\right\}$ no és element d’ $A$ .

c) $c\subset A$ és falsa, ja que $c$ és element d’ $A$ i no subconjunt.

d) És clar que $c$ és element d’ $A$ i, per tant, és cert que $\left\{c\right\}$ és subconjunt d’ $A$

e) És clar que $a,b$ i $c$ són elements d’ $A$ i, per tant, és cert que $\left\{a,b,c\right\}$ és subconjunt de $A$ .

f) $A\in A$ és falsa, ja que $A$ no és element de si mateix. $\square$

Exercici 2.6.

Donat el conjunt $A=\left\{1,2,3\right\}$ , quins de les següents relacions són vertaderes?

\begin{array}[]{llllllll}a)&\left\{3\right\}\in A&&b)&\left\{1,2\right\}% \subset A&&c)&3\in\mathcal{P}(A)\\ d)&\emptyset\in\mathcal{P}(A)&&e)&\emptyset\subset\mathcal{P}(A)&&f)&\left\{2,% 3\right\}\subset\mathcal{P}(A)\\ g)&\left\{\emptyset\right\}\subset\mathcal{P}(A)&&h)&\emptyset\in\left\{% \emptyset\right\}&&i)&\left\{\left\{1\right\}\right\}\in\mathcal{P}(A)\end{array}

Solució: a) $\left\{3\right\}\in A$ és falsa, ja que $\left\{3\right\}$ no és element d’ $A$ .

b) És clar que $1$ i $2$ són elements d’ $A$ i, per tant, és cert que $\left\{1,2\right\}$ és subconjunt d’ $A$ .

c) És clar que $3$ no és subconjunt d’ $A$ i, per tant, $3\in\mathcal{P}(A)$ és falsa.

d) És clar que $\emptyset\subset A$ i, per tant, és cert que $\emptyset\in\mathcal{P}(A)$ .

e) És clar que $\emptyset$ és subconjunt de qualsevol conjunt i, per tant, és cert que $\emptyset\subset\mathcal{P}(A)$ .

f) És clar que ni $2$ ni $3$ són subconjunts d’ $A$ i, per tant, és fals que $\left\{2,3\right\}\subset\mathcal{P}(A)$ .

g) És clar que $\emptyset\in\mathcal{P}(A)$ i, per tant, és cert que $\left\{\emptyset\right\}\subset\mathcal{P}(A)$ .

h) En ser $\emptyset$ element de $\left\{\emptyset\right\}$ , és cert que $\emptyset\in\left\{\emptyset\right\}$ .

i) És clar que $\left\{\left\{1\right\}\right\}$ no és subconjunt d’ $A$ i, per tant, és fals que $\left\{\left\{1\right\}\right\}\in\mathcal{P}(A)$ . $\square$

Exercici 2.7.

Demostra que es compleixen les següents propietats de la relació d’inclusió:

1.

Per a tot conjunt $A$ , $A\subset A$ .
2.

Donats dos conjunts $A$ i $B$ , si $A\subset B$ i $A\supset B$ , llavors $A=B$ .
3.

Donats tres conjunts $A$ , $B$ i $C$ , si $A\subset B$ i $B\subset C$ , llavors $A\subset C$ .

Solució: (1) Donat qualsevol conjunt $A$ , per definició, tenim

\begin{array}[]{ccc}A\subset A&\Longleftrightarrow&\left(\forall x\right)\left% (x\in A\Longrightarrow x\in A\right)\end{array}

Des del punt de vista lògic, la implicació

x\in A\Longrightarrow x\in A

és vertadera qualssevol que sigui $x$ . Per tant, $A\subset A$ .

(2) Donats dos conjunts qualssevol $A$ i $B$ , si $A\subset B$ , llavors

\left(\forall x\right)\left(x\in A\Longrightarrow x\in B\right)

A més, si $B\subset A$ , llavors

\left(\forall x\right)\left(x\in B\Longrightarrow x\in A\right)

Des del punt de vista lògic, de les dues implicacions anteriors es dedueix

x\in A\Longleftrightarrow x\in B

per a tot $x$ . Per tant, per definició d’igualtat de conjunts, $A=B$ .

(3) Donats tres conjunts qualssevol $A$ , $B$ i $C$ , si $A\subset B$ , llavors

x\in A\Longrightarrow x\in B

per a tot $x$ . A més, si $B\subset C$ , llavors

x\in B\Longrightarrow x\in C

per a tot $x$ . Des del punt de vista lògic, de les dues implicacions anteriors es dedueix

x\in A\Longrightarrow x\in C

per a tot $x$ , i per tant, per definició, es compleix $A\subset C$ . $\square$

Exercici 2.8.

Donades les següents condicions:

P(x):\text{ }x\text{ \'{e}s m\'{u}ltiple de }6

Q(x):\text{ }x\text{ \'{e}s m\'{u}ltiple de }3

(a) Demostra que per a tot $x\in\mathbb{Z}$ es compleix la següents implicació

P(x)\leavevmode\nobreak\ \Longrightarrow\leavevmode\nobreak\ Q(x)

i (b) si

A=\left\{x\in\mathbb{Z}:P(x)\right\}\text{ \ \ i \ \ }B=\left\{x\in\mathbb{Z}:% Q(x)\right\}

quins de les següents relacions és correcte $A\subset B$ o $B\subset A$ ?

Solució: (a) És evident que tot nombre enter que sigui múltiple de $6$ és també múltiple de $3$ . Per tant, la implicació lògica següent

P(x)\leavevmode\nobreak\ \Longrightarrow\leavevmode\nobreak\ Q(x)

és certa per a tot $x\in\mathbb{Z}$ .

(b) Com que, per a tot $x\in\mathbb{Z}$ es compleixen

\begin{array}[]{ccc}x\in A&\Longleftrightarrow&P(x)\end{array}\text{ \ \ i \ % \ }\begin{array}[]{ccc}x\in B&\Longleftrightarrow&Q(x)\end{array}

i, segons l’apartat anterior,

P(x)\leavevmode\nobreak\ \Longrightarrow\leavevmode\nobreak\ Q(x)

llavors,

x\in A\Longrightarrow x\in B

i, com a conseqüència, $A\subset B$ . $\square$

Exercici 2.9.

Donats els següents intervals de la recta real

A=(-2,5]\text{ \ \ \ i \ \ \ }B=[1,9]

Determina els conjunts $A\cap B$ , $A\cup B$ , $A-B$ i $B-A$ .

Solució: Es té que $A\cap B=[1,5]$ , $A\cup B=(-2,9]$ , $A-B=(-2,1)$ i $B-A=(5,9]$ . $\square$

Exercici 2.10.

Una companyia d’assegurances té una cartera de clients $U$ i tracta d’estudiar algunes característiques d’aquests. Sigui $A$ el conjunt d’adults, $B$ el de dones i $C$ el dels clients casats. (a) Descriu els següents conjunts: $\complement A$ , $\complement B$ , $\complement C$ , $B\cap\complement A$ , $A\cap B$ , $A\cup B$ i $B\cap\complement C$ . (b) Expressa mitjançant conjunts les següents enunciats: (1) Adults casats, (2) Homes menors no casats i (3) Menors o homes casats.

Solució: (a) Per definició de complementari d’un conjunt, si $A$ és el conjunt d’adults, $B$ el de dones i $C$ el dels clients casats, llavors $\complement A$ és el conjunt de menors, $\complement B$ el d’homes i $\complement C$ el dels no casats. Com que

\begin{array}[]{ccc}x\in B\cap\complement A&\Longleftrightarrow&x\in B\text{ i% }x\in\complement A\end{array}

llavors $B\cap\complement A$ és el conjunt de dones menors. És clar que $A\cap B$ és el conjunt de dones adultes, i, $A\cup B$ és el conjunt de dones o homes adults. Com que

\begin{array}[]{ccc}x\in B\cap\complement C&\Longleftrightarrow&x\in B\text{ i% }x\in\complement C\end{array}

llavors $B\cap\complement C$ és el conjunt de dones no casades.

(b) Com que $A$ és el conjunt d’adults i $C$ el dels casats, llavors $A\cap C$ és el conjunt d’adults casats. És clar que el conjunt d’homes menors no casats és

\complement B\cap\complement A\cap\complement C

Finalment, el conjunt de menors o homes casats és

\complement A\cup(\complement B\cap C)

$\square$

Exercici 2.11.

Donats tres conjunts qualssevol $A$ , $B$ i $C$ , demostra que es compleixen les següents relacions:

1.

$A\cup A=A$ i $A\cap A=A$
2.

$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ i $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
3.

$A\cup B=B\cup A$ i $A\cap B=B\cap A$
4.

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup B)$ i $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
5.

$A\cup(B\cap A)=A$ i $A\cap(B\cup A)=A$
6.

$A\cup\emptyset=A$ i $A\cap\emptyset=\emptyset$

Solució: Per a demostrar igualtats de conjunts hi ha dos mètodes. El primer consisteix a utilitzar la propietat antisimètrica de la relació d’inclusió:

\begin{array}[]{ccc}A=B&\Longleftrightarrow&A\subset B\text{ i }B\subset A\end% {array}

i, el segon, consisteix a expressar primer les igualtats com a enunciats de lògica proposicional i després comprovar que es tracten de tautologies. Utilitzarem aquí tots dos mètodes per a provar les igualtats indicades.

(1) És clar que $A\cup A=A$ i $A\cap A=A$ s’expressen com els següents enunciats

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ o }x\in A&\Longleftrightarrow&x\in A\end{array}

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ i }x\in A&\Longleftrightarrow&x\in A\end{array}

traduïts com a expressions formals de la lògica d’enunciats, tenim

\begin{array}[]{ccc}p\vee p&\longleftrightarrow&p\end{array}\text{ \ \ i \ \ }% \begin{array}[]{ccc}p\wedge p&\longleftrightarrow&p\end{array}

on $p$ està en lloc de l’enunciat $x\in A$ . Per a provar que són tautologies hem de construir les taules de veritat de totes dues proposicions i comprovar que en l’última columna són tots $1$ (valor de veritat). Així, tenim

$p$	$p\wedge p$	$\left(p\wedge p\right)\longleftrightarrow p$
$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

$p$	$p\vee p$	$\left(p\vee p\right)\longleftrightarrow p$
$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

$p$	$p\wedge p$	$\left(p\wedge p\right)\longleftrightarrow p$
$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

on $0$ és el valor de falsedat. Per tant, totes dues igualtats són vertaderes.

(2) És clar que $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ i $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ s’expressen com els següents enunciats

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ o }\left(x\in B\text{ o }x\in C\right)&% \Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ o }x\in B\right)\text{ o }x\in C\end{array}

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ i }\left(x\in B\text{ i }x\in C\right)&% \Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ i }x\in B\right)\text{ i }x\in C\end{array}

que traduïts com a expressions formals de la lògica d’enunciats, tenim

\begin{array}[]{ccc}p\vee(q\vee r)&\longleftrightarrow&(p\vee q)\vee r\end{array}

\begin{array}[]{ccc}p\wedge(q\wedge r)&\longleftrightarrow&(p\wedge q)\wedge r% \end{array}

on $p$ està en lloc de $x\in A$ , $q$ en lloc de $x\in B$ , i $r$ en lloc de $x\in C$ . Per a provar que són tautologies hem de construir les taules de veritat de totes dues proposicions i comprovar que en l’última columna són tots $1$ . Així, tenim

$p$	$q$	$r$	$p\vee q$	$q\vee r$	$p\vee(q\vee r)$	$(p\vee q)\vee r$	$\left[p\vee(q\vee r)\right]\longleftrightarrow\left[(p\vee q)\vee r\right]$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge q$	$q\wedge r$	$p\wedge(q\wedge r)$	$(p\wedge q)\wedge r$	$\left[p\wedge(q\wedge r)\right]\longleftrightarrow\left[(p\wedge q)\wedge r\right]$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Per tant, totes dues igualtats són vertaderes.

(3) És clar que $A\cup B=B\cup A$ i $A\cap B=B\cap A$ s’expressen com els següents enunciats

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ o }x\in B&\Longleftrightarrow&x\in B\text{ o % }x\in A\end{array}

\begin{array}[]{ccc}x\in A\text{ i }x\in B&\Longleftrightarrow&x\in B\text{ i % }x\in A\end{array}

traduïts com a expressions formals de la lògica d’enunciats, tenim

\begin{array}[]{ccc}p\vee q&\longleftrightarrow&q\vee p\end{array}\text{ \ \ i% \ \ }\begin{array}[]{ccc}p\wedge q&\longleftrightarrow&q\wedge p\end{array}

on $p$ està en lloc de l’enunciat $x\in A$ i $q$ en lloc de $x\in B$ . Per a provar que són tautologies hem de construir les taules de veritat de totes dues proposicions i comprovar que en l’última columna són tots $1$ .

$p$	$q$	$p\vee q$	$q\vee p$	$(p\vee q)\longleftrightarrow(q\vee p)$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

$p$	$q$	$p\wedge q$	$q\wedge p$	$(p\wedge q)\longleftrightarrow(q\wedge p)$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$1$

Per tant, totes dues igualtats són vertaderes.

(4) Aquí, utilitzarem el primer mètode per a provar $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup B)$ i $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ . Així, tenim

\begin{array}[]{ccc}A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup B)&\Longleftrightarrow&% \left\{\begin{array}[]{c}A\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap(A\cup B)\\ (A\cup B)\cap(A\cup B)\subset A\cup(B\cap C)\end{array}\right.\end{array}

Com que

\begin{array}[]{lll}x\in A\cup(B\cap C)&\Longleftrightarrow&x\in A\text{ o }x% \in B\cap C\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\text{ o }\left(x\in B\text{ i }x\in C\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ o }x\in B\right)\text{ i }\left(x\in A% \text{ o }x\in C\right)\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\cup B\text{ i }x\in A\cup C\\ &\Longleftrightarrow&x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\end{array}

Per tant, $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup B)$ .

D’altra banda, tenim

\begin{array}[]{ccc}A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)&\Longleftrightarrow&% \left\{\begin{array}[]{c}A\cap(B\cup C)\subset(A\cap B)\cup(A\cap C)\\ (A\cap B)\cup(A\cap C)\subset A\cap(B\cup C)\end{array}\right.\end{array}

Com que

\begin{array}[]{lll}x\in A\cap(B\cup C)&\Longleftrightarrow&x\in A\text{ i }x% \in B\cup C\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\text{ i }\left(x\in B\text{ o }x\in C\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ i }x\in B\right)\text{ o }\left(x\in A% \text{ i }x\in C\right)\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\cap B\text{ o }x\in A\cap C\\ &\Longleftrightarrow&x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\end{array}

Per tant, $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ .

(5) Com que

\begin{array}[]{lll}x\in A\cup(B\cap A)&\Longleftrightarrow&x\in A\text{ o }x% \in B\cap A\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\text{ o }\left(x\in B\text{ i }x\in A\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ o }x\in B\right)\text{ i }\left(x\in A% \text{ o }x\in A\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ o }x\in B\right)\text{ i }x\in A\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\end{array}

Aleshores, $A\cup(B\cap A)=A$ . D’altra banda,

\begin{array}[]{lll}x\in A\cap(B\cup A)&\Longleftrightarrow&x\in A\text{ i }x% \in B\cup A\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\text{ i }\left(x\in B\text{ o }x\in A\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ i }x\in B\right)\text{ o }\left(x\in A% \text{ i }x\in A\right)\\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in A\text{ i }x\in B\right)\text{ o }x\in A\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\end{array}

Per tant, $A\cap(B\cup A)=A$ .

(6) Com que

\begin{array}[]{lll}x\in A\cup\emptyset&\Longleftrightarrow&x\in A\text{ o }x% \in\emptyset\\ &\Longleftrightarrow&x\in A\end{array}

Per tant, $A\cup\emptyset=A$ . D’altra banda, si fos $A\cap\emptyset$ no buit, existiria un element $x$ tal que $x\in A$ i $x\in\emptyset$ , però això no és possible, ja que $x\in\emptyset$ és una relació que sempre és falsa. Per tant, no pot haver-hi cap element en $A\cap\emptyset$ i, per tant, $A\cap\emptyset=\emptyset$ . $\square$

Exercici 2.12.

Prenent com univers $\mathbb{R}$ , determina els complementaris dels següents conjunts: $(2,+\infty)$ , $(-\infty,0]$ , $(-3,1]$ i $[0.5,0.7]\cup[2,3)$ .

Solució: Per definició de complementari d’un conjunt tenim

	$\displaystyle\complement(2,+\infty)$	$\displaystyle=(-\infty,2]$
	$\displaystyle\complement(-\infty,0]$	$\displaystyle=(0,+\infty)$
	$\displaystyle\complement(-3,1]$	$\displaystyle=(-\infty,-3]\cup(1,+\infty)$
	$\displaystyle\complement\left([0.5,0.7]\cup[2,3)\right)$	$\displaystyle=(-\infty,0.5)\cup(0.7,2)\cup[3,+\infty)$

$\square$

Exercici 2.13.

Si $E$ és el conjunt referencial, demostra que es compleixen les següents propietats:

1.

$\complement E=\emptyset$ i $\complement\emptyset=E$
2.

$\complement\left(\complement A\right)=A$
3.

$\complement\left(A\cup B\right)=\complement A\cap\complement B$
4.

$\complement\left(A\cap B\right)=\complement A\cup\complement B$

Solució: (1) Si $\complement E$ no fos buit, existiria un element $x$ tal que $x\notin E$ , però això no és possible perquè $E$ és l’univers. Per tant, no pot haver-hi cap element en $\complement E$ i, com a consequència, $\complement E=\emptyset$ .

Com que

\begin{array}[]{lll}x\in\complement\emptyset&\Longleftrightarrow&x\in E\text{ % i }x\notin\emptyset\\ &\Longleftrightarrow&x\in E\end{array}

Per tant, $\complement\emptyset=E$ .

(2) És clar que $\complement\left(\complement A\right)=A$ es tradueix com la següent expressió formal de la lògica d’enunciats,

\lnot\lnot p\longleftrightarrow p

on $p$ està en lloc de l’enunciat $x\in A$ . Per a provar que és una tautologia hem de construir la taula de veritat i comprovar que en l’última columna són tots $1$ . Així, tenim

$p$	$\lnot p$	$\lnot\lnot p$	$\lnot\lnot p\longleftrightarrow p$
$1$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$

Per tant, la igualtat $\complement\left(\complement A\right)=A$ és certa.

(3) Com que

\begin{array}[]{lll}x\in\complement\left(A\cup B\right)&\Longleftrightarrow&x% \in E\text{ i }x\notin A\cup B\\ &\Longleftrightarrow&x\in E\text{ i }\left(x\notin A\text{ i }x\notin B\right)% \\ &\Longleftrightarrow&\left(x\in E\text{ i }x\notin A\right)\text{ i }\left(x% \in E\text{ i }x\notin B\right)\\ &\Longleftrightarrow&x\in\complement A\text{ i }x\in\complement B\\ &\Longleftrightarrow&x\in\complement A\cap\complement B\end{array}

Per tant, $\complement\left(A\cup B\right)=\complement A\cap\complement B$ .

(4) És clar que $\complement\left(A\cap B\right)=\complement A\cup\complement B$ es tradueix com la següent expressió formal de la lògica d’enunciats,

\lnot(p\wedge q)\longleftrightarrow\lnot p\vee\lnot q

on $p$ està en lloc de l’enunciat $x\in A$ i $q$ de $x\in B$ . Per a provar que és una tautologia hem de construir la taula de veritat i comprovar que en l’última columna són tots $1$ . Així, tenim

$p$	$q$	$\lnot p$	$\lnot q$	$p\wedge q$	$\lnot(p\wedge q)$	$\lnot p\vee\lnot q$	$\lnot(p\wedge q)\longleftrightarrow\lnot p\vee\lnot q$
$1$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$

Per tant, la igualtat $\complement\left(A\cap B\right)=\complement A\cup\complement B$ és vertadera. $\square$

Exercici 2.14.

Suposant que $E$ és el conjunt referencial, simplifica les següents expressions:

1.

$(A\cap\complement B)\cap(\complement A\cap\complement B)$
2.

$(A\cap B\cap C)\cup(\complement A\cup\complement B\cup\complement C)$
3.

$\left[A\cap(\complement A\cup B)\right]\cup\left[B\cap(B\cup C)\right]\cup B$

Solució: En tots aquests apartats aplicarem les propietats de la unió i intersecció entre conjunts i del complementari d’un conjunt.

(1) Així tenim

	$\displaystyle(A\cap\complement B)\cap(\complement A\cap\complement B)$	$\displaystyle=(A\cap\complement B)\cap(\complement B\cap\complement A)$
		$\displaystyle=A\cap(\complement B\cap\complement B)\cap\complement A$
		$\displaystyle=A\cap\complement B\cap\complement A$
		$\displaystyle=A\cap(\complement B\cap\complement A)$
		$\displaystyle=A\cap(\complement A\cap\complement B)$
		$\displaystyle=(A\cap\complement A)\cap\complement B$
		$\displaystyle=\emptyset\cap\complement B$
		$\displaystyle=\emptyset$

(2) Així, tenim

	$\displaystyle(A\cap B\cap C)\cup(\complement A\cup\complement B\cup\complement C)$	$\displaystyle=(A\cap B\cap C)\cup(\complement\left(A\cap B\right)\cup% \complement C)$
		$\displaystyle=(A\cap B\cap C)\cup\complement\left((A\cap B)\cap C\right)$
		$\displaystyle=(A\cap B\cap C)\cup\complement\left(A\cap B\cap C\right)$
		$\displaystyle=E$

(3) Així, tenim

	$\displaystyle\left[A\cap(\complement A\cup B)\right]\cup\left[B\cap(B\cup C)% \right]\cup B$	$\displaystyle=\left[(A\cap\complement A)\cup(A\cap B)\right]\cup\left[(B\cap B% )\cup(B\cap C)\right]\cup B$
		$\displaystyle=\emptyset\cup(A\cap B)\cup B\cup(B\cap C)\cup B$
		$\displaystyle=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup B$
		$\displaystyle=(A\cap B)\cup\left[(B\cap C)\cup B\right]$
		$\displaystyle=(A\cap B)\cup B$
		$\displaystyle=B$

$\square$

Exercici 2.15.

Si $A=\left\{1,2\right\}$ , $B=\left\{2,4\right\}$ i $C=\left\{a\right\}$ , determina els conjunts següents: (a) $A\times(B\cup C)$ ; (b) $(C\times A)\cap(C\times B)$ .

Solució: (a) És clar que

B\cup C=\left\{2,4,a\right\}

Llavors, segons la definició de producte cartesià de dos conjunts, obtenim

A\times(B\cup C)=\left\{(1,2),(1,4),(1,a),(2,2),(2,4),(2,a)\right\}

(b) De la mateixa manera obtenim

C\times A=\left\{(a,1),(a,2)\right\}\text{ \ \ \ y \ \ \ }C\times B=\left\{(a,% 2),(a,4)\right\}

Després,

(C\times A)\cap(C\times B)=\left\{(a,2)\right\}

$\square$

Exercici 2.16.

Representa gràficament el conjunt $A\times B$ , sabent que $A=\left\{x\in\mathbb{R}:-3\leq x\leq 1\right\}$ i $B=\left\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 2\right\}$ .

Solució: Segons la definició de producte cartesià de dos conjunts, obtenim

A\times B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}:-3\leq x\leq 1\text{ \ i \ }0\leq y\leq 2\right\}

Gràficament, aquest conjunt representa la regió del pla assenyalada en la figura següent

$\square$