1.3 Aplicacions

Donats dos conjunts $A$ i $B$ , i una relació $R$ entre $A$ i $B$ , es diu aplicació d’ $A$ en $B$ si $\mathcal{D}\left(R\right)=A$ i per a tot $a\in$ $\mathcal{D}\left(R\right)$ existeix un únic $b\in B$ tal que $(a,b)\in R$ . És habitual usar $f,g$ o $h$ com a símbols d’aplicacions. D’aquesta manera, per a designar una aplicació $f$ d’ $A$ en $B$ escriurem

f:A\longrightarrow B\text{,}

o bé

A\overset{f}{\longrightarrow}B\text{.}

Considerem l’aplicació $f:A\longrightarrow B$ i sigui $a\in A$ , llavors $f(a)$ es diu la imatge d’ $a$ per $f$ . Si $f(a)=b$ , llavors diem que $a$ és una antiimatge de $b$ per $f$ ; també simbolitzem aquest fet com $a\longmapsto f(a)=b$ . Al conjunt

\mathcal{R}\left(f\right)=\left\{y\in B:\text{existeix }x\in A\text{ tal que }f(x)=y\right\}

se’n diu imatge o recorregut de l’aplicació $f$ i també s’escriu $\mathop{\mathrm{I}m}f$ . Observa que $\mathcal{R}\left(f\right)$ és el conjunt dels elements de $B$ que tenen almenys una antiimatge per l’aplicació $f$ .

Donades dues aplicacions $f:A\longrightarrow B$ i $g:A\longrightarrow B$ , diem que són iguals, representant-ho per $f=g$ , si per a tot $x\in A$ es compleix $f(x)=g(x)$ . En símbols, escrivim

\begin{array}[]{ccc}f=g&\Longleftrightarrow&\left(\forall x\right)\left(x\in A% \Longrightarrow f(x)=g(x)\right)\end{array}

Es diu graf de l’aplicació $f:A\longrightarrow B$ al conjunt

\text{ }\mathcal{G}\left(f\right)=\left\{(x,y)\in A\times B:f(x)=y\right\}

Llavors, és evident que dues aplicacions $f$ i $g$ d’ $A$ en $B$ són iguals si i només si $\mathcal{G}\left(f\right)=$ $\mathcal{G}\left(g\right)$ .

Exemple 1.22.

Donats els conjunts $A=\{0,1,2,3,4\}$ i $B=\{2,6,9,12,20,21\}$ , considerem la relació $R$ entre $A$ i $B$ definida per: $x\in A$ està relacionat amb $y\in B$ si i només si $y=3x$ . (a) És aquesta relació una aplicació d’ $A$ en $B$ ? (b) Quins números s’han d’excloure de $A$ perquè ho sigui? Calcula la imatge i el graf de l’aplicació que així s’obté.

Solució: (a) Aquesta relació no és una aplicació d’ $A$ en $B$ , perquè el seu domini és el conjunt $\left\{2,3,4\right\}$ i no coincideix amb $A$ .

(b) Si excloem $0$ i $1$ d’ $A$ , llavors la relació defineix una aplicació de $\mathcal{D}(R)=\left\{2,3,4\right\}$ en $B$ . És clar que la imatge d’aquesta aplicació és

\mathcal{R}(R)=\left\{6,9,12\right\}

i el graf és

\mathcal{G}(R)=\left\{(2,6),(3,9),(4,12)\right\}\text{.}

$\square$

Exemple 1.23.

Siguin $A=\{1,2,3,4\}$ , $B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ i considerem el següent conjunt

G=\{\text{\thinspace}(x,y)\in A\times B\mid y=2x-1\}

(a) És $G$ el graf d’una aplicació $f$ d’ $A$ en $B$ ? (b) Si ho és, com es defineix la imatge d’un element qualsevol d’ $A$ ? Quins elements de $B$ tenen antiimatge?

Solució: (a) És immediat comprovar que

G=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7)\}

És clar que $G$ defineix una aplicació $f$ d’ $A$ en $B$ perquè $\mathcal{D}(f)=A$ i tot element d’ $A$ té una i només una imatge.

(b) L’aplicació $f$ es defineix per $f(x)=2x-1$ . Els elements de $B$ que tenen antiimatge determinen el recorregut de l’aplicació què és

\mathcal{R}(f)=\{1,3,5,7\}\text{.}

$\square$

Observació 1.3.

Els conceptes d’aplicació i funció es consideren sovint com a sinònims. Tot i això, el concepte de funció pot considerar-se menys restrictiu que el d’aplicació. La raó està en el fet que quan tractem amb funcions és habitual no especificar des d’un principi els conjunts de sortida i d’arribada com així fem en definir el concepte d’aplicació. En general , una funció es defineix com una relació $R$ entre dos conjunts referencials (prou amplis) que satisfà la següent propietat: per a qualssevol objectes $a,b,c$

\begin{array}[]{ccc}(a,b)\in R\text{ i }(a,c)\in R&\Longrightarrow&b=c\end{array}

En altres paraules, una relació $R$ entre dos conjunts referencials és una funció si i només si per a tot $a\in$ $\mathcal{D}(R)$ existeix un únic $b$ tal que $(a,b)\in R$ . Definit d’aquesta manera el concepte de funció, aleshores diem que $f$ és una funció d’ $A$ en $B$ si $\mathcal{D}(f)=A$ i $\mathcal{R}(f)\subset B$ . Ara, és evident que una funció d’ $A$ en $B$ és una aplicació d’ $A$ en $B$ . Per exemple, les funcions de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ (funcions reals de variable real) són aplicacions del seu domini en $\mathbb{R}$ .

1.3.1 Classes d’aplicacions

Donats els conjunts $A$ , $B$ i l’aplicació $f:A\longrightarrow B$ . Distingim les següents classes d’aplicacions:

1.

L’aplicació es diu injectiva quan qualsevol parell d’elements diferents de $A$ tenen imatges diferents, o dit d’una altra forma equivalent, si no hi ha dos elements diferents d’ $A$ amb la mateixa imatge. En símbols, escrivim

$\begin{array}[]{lll}f\text{ \'{e}s injectiva}&\Longleftrightarrow&x\neq y% \Longrightarrow f(x)\neq f(y)\\ &\Longleftrightarrow&f(x)=f(y)\Longrightarrow x=y\end{array}$

per a tot $x,y\in A$ .
2.

L’aplicació es diu exhaustiva si tot element de $B$ té almenys una antiimatge en $A$ , o dit d’una altra forma equivalent, si $\mathcal{R}\left(f\right)=B$ . En símbols, escrivim

$\begin{array}[]{lll}f\text{ \'{e}s exhaustiva}&\Longleftrightarrow&\left(% \forall y\right)\left(y\in B\Longrightarrow\left(\exists x\right)\left(x\in A% \text{ i }f(x)=y\right)\right)\end{array}$
3.

L’apliació es diu bijectiva quan és injectiva i exhaustiva.

Exemple 1.24.

L’aplicació $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida per $f(x)=x^{2}$ no és injectiva ni exhaustiva. En efecte, $f$ no és injectiva perquè, per exemple, $-1\neq 1$ i, en canvi , $f(-1)=f(1)$ . Tampoc és exhaustiva perquè $-1$ no té antiimatge.

Exemple 1.25.

L’aplicació $f:[0,+\infty)\longrightarrow\mathbb{R}$ definida per $f(x)=x^{2}$ és injectiva però no és exhaustiva. En efecte, $f$ és injectiva perquè si $f(x)=f(y)$ , deduïm $x^{2}=y^{2}$ . D’aquí, obtenim $\left|x\right|=\left|y\right|$ , però com $x,y\in[0,+\infty)$ , deduïm $x=y$ . No és exhaustiva perquè, per exemple, $-1$ no té antiimatge.

Exemple 1.26.

L’aplicació $f:\mathbb{R}\longrightarrow[0,+\infty)$ definida per $f(x)=x^{2}$ no és injectiva però sí que és exhaustiva. En efecte, $f$ no és injectiva perquè $-1\neq 1$ i, en canvi, $f(-1)=f(1)$ . Si $y\in[0,+\infty)$ , llavors $\sqrt{y}\in\mathbb{R}$ i es compleix $f\left(\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{y}\right)^{2}=y$ . Per tant, qualsevol element de $[0,+\infty)$ té antiimatge i, per tant, $f$ és exhaustiva.

Exemple 1.27.

L’aplicació $f:[0,+\infty)\longrightarrow[0,+\infty)$ definida per $f(x)=x^{2}$ és bijectiva. En efecte, el raonament utilitzat en (2) prova que $f$ és injectiva, i el raonament utilitzat en (3) prova que $f$ és exhaustiva. Per tant, $f$ és bijectiva.

1.3.2 Imatge i antiimatge d’un conjunt

Donats els conjunts $A$ , $B$ i l’aplicació $f:A\longrightarrow B$ . Considerem $C\subset A$ i $D\subset B$ , llavors es diu imatge del conjunt $C$ al conjunt

f(C)=\left\{y\in B:\text{existeix }x\in C\text{ tal que }f(x)=y\right\}\text{,}

és a dir, el conjunt $f(C)$ està format per les imatges de tots els elements de $C$ . Es diu antiimatge del conjunt $D$ al conjunt

f^{-1}(D)=\left\{x\in A:f(x)\in D\right\}\text{,}

és a dir, el conjunt $f^{-1}(D)$ està format per les antiimatges de tots els elements de $D$ .

Exemple 1.28.

Considerem l’aplicació $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida per

f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\text{.}

Volem calcular la imatge del conjunt $\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$ i l’antiimatge del conjunt $\left\{0,1,2\right\}$ .

Solució: Per a determinar $f\left(\left\{-2,-1,0,1,2\right\}\right)$ haurem de calcular les imatges de tots els elements del conjunt en qüestió. Així, tenim

\begin{array}[]{c}f(-2)=\frac{(-2)^{2}-1}{(-2)^{2}+1}=\frac{3}{5}\\ f(-1)=\frac{(-1)^{2}-1}{(-1)^{2}+1}=0\\ f(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1\\ f(1)=\frac{1-1}{1+1}=0\\ f(2)=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}\end{array}

Per tant,

f\left(\left\{-2,-1,0,1,2\right\}\right)=\left\{-1,0,\frac{3}{5}\right\}\text{.}

Per a determinar $f^{-1}\left(\left\{0,1,2\right\}\right)$ haurem calcular les antiimatges de tots els elements del conjunt en qüestió. Així, tenim

\begin{array}[]{ccccc}f(x)=0&\Longrightarrow&\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=0&% \Longrightarrow&x=1\text{ o }x=-1\\ f(x)=1&\Longrightarrow&\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=1&\Longrightarrow&\text{No hi % ha soluci\'{o}}\\ f(x)=2&\Longrightarrow&\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=2&\Longrightarrow&\text{No hi % ha soluci\'{o}}\end{array}

Per tant,

f^{-1}\left(\left\{0,1,2\right\}\right)=\left\{-1,1\right\}\text{.}

$\square$

Observació 1.4.

Veurem en un altre apartat que si una aplicació $f$ és bijectiva, llavors existeix l’aplicació $f^{-1}$ que se’n diu inversa de $f$ . En usar la notació $f^{-1}(D)$ no s’ha de pressuposar que $f$ és bijectiva; ara $f^{-1}(D)$ designa simplement el conjunt que té per elements totes les antiimatges dels elements de $D$ . Tot i això, en el cas que $f$ sigui bijectiva, la notació $f^{-1}(D)$ serà consistent amb el fet que $f^{-1}(D)$ s’interpreti també com la imatge del conjunt $D$ per l’aplicació inversa de $f$ .

1.3.3 Composició d’aplicacions

Donats els conjunts $A$ , $B$ i $C$ , considerem les aplicacions $f:A\longrightarrow B$ i $g:B\longrightarrow C$ . A l’aplicació $h:A\longrightarrow C$ definida per

h(x)=g\left(f(x)\right)

se’n diu aplicació composta de $f$ i $g$ o aplicació composició de $f$ amb $g$ , i s’escriu $h=g\circ f$ . El següent diagrama justifica la definició de l’aplicació composta de $f$ amb $g$ .

Exemple 1.29.

Considerem les aplicacions $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ i $g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definides per $f(x)=x+1$ i $g(x)=1-2x$ . Volem calcular l’aplicació composta de $f$ amb $g$ .

Solució: Segons la definició, tenim

	$\displaystyle(g\circ f)(x)$	$\displaystyle=g\left(f(x)\right)$
		$\displaystyle=g(x+1)$
		$\displaystyle=1-2(x+1)$
		$\displaystyle=1-2x-2$
		$\displaystyle=-1-2x$

$\square$

Observació 1.5.

Volem fer dues observacions importants:

•

És important assenyalar que la composició $g\circ f$ de dues aplicacions $f$ i $g$ només existeix quan el conjunt d’arribada de $f$ coincideix amb el conjunt de sortida de $g$ .
•

Observa que en l’expressió $g\circ f$ les aplicacions apareixen escrites en ordre invers al d’actuació, que és: primer $f$ i després $g$ .

1.3.4 Aplicació inversa

Donada una aplicació $f:A\longrightarrow B$ bijectiva, l’aplicació $g:B\longrightarrow A$ definida per

\begin{array}[]{ccc}g(y)=x&\Longleftrightarrow&f(x)=y\end{array}

es diu aplicació inversa de $f$ i és habitual denotar-la per $f^{-1}$ . Segons la definició, és immediat comprovar que

f^{-1}\circ f=I_{A}\text{ \ \ i \ \ }f\circ f^{-1}=I_{B}

on les aplicacions $I_{A}:A\longrightarrow A$ i $I_{B}:B\longrightarrow B$ definides per $I_{A}(x)=x$ per a tot $x\in A$ i $I_{B}(x)=x$ per a tot $x\in B$ es diuen, respectivament, l’aplicació identitat d’ $A$ i l’aplicació identitat de $B$ .

Exemple 1.30.

Considerem l’aplicació $f:\mathbb{R}-\left\{1\right\}\longrightarrow\mathbb{R}-\left\{2\right\}$ definida per

f(x)=\frac{2x+1}{x-1}

(a) Provarem que $f$ és bijectiva i (b) calcularem l’aplicació inversa.

Solució: (a) Si $x,y\in\mathbb{R}-\left\{1\right\}$ i suposem que $f(x)=f(y)$ , llavors

	$\displaystyle\frac{2x+1}{x-1}$	$\displaystyle=\frac{2y+1}{y-1}$
	$\displaystyle 2xy-2x+y-1$	$\displaystyle=2xy+x-2y-1$
	$\displaystyle 3y$	$\displaystyle=3x$
	$\displaystyle y$	$\displaystyle=x$

i, per tant, $f$ és injectiva. Si $y\in\mathbb{R}-\left\{2\right\}$ i fem $f(x)=y$ , llavors

	$\displaystyle\frac{2x+1}{x-1}$	$\displaystyle=y$
	$\displaystyle 2x+1$	$\displaystyle=xy-y$
	$\displaystyle 1+y$	$\displaystyle=xy-2x$
	$\displaystyle 1+y$	$\displaystyle=x(y-2)$
	$\displaystyle\frac{1+y}{y-2}$	$\displaystyle=x$

Per tant, donat $y\in\mathbb{R}-\left\{2\right\}$ , existeix

\frac{1+y}{y-2}\in\mathbb{R}-\left\{1\right\}

i es compleix

f\left(\frac{1+y}{y-2}\right)=y\text{.}

Això vol dir que $f$ també és exhaustiva i, en conseqüència, $f$ és bijectiva.

(b) Com que per a tot $x\in\mathbb{R}-\left\{1\right\}$ i $y\in\mathbb{R}-\left\{2\right\}$ , es compleix

\begin{array}[]{ccc}\frac{1+y}{y-2}=x&\Longleftrightarrow&\frac{2x+1}{x-1}=y% \end{array}

llavors

f^{-1}(y)=\frac{1+y}{y-2}

Substituint ara $y$ per $x$ , obtenim

f^{-1}(x)=\frac{1+x}{x-2}\text{.}

$\square$

1.3.5 Cardinal d’un conjunt

En aquest apartat precisarem la noció intuïtiva que tots tenim de nombre d’elements d’un conjunt finit.

Diem que dos conjunts $A$ i $B$ són equipotents quan existeix una aplicació bijectiva d’ $A$ en $B$ . Ara podem associar a cada conjunt $A$ el que es diu cardinal o potència d’ $A$ que es denota per $\#A$ . El cardinal d’un conjunt es defineix de manera que es compleixi la següent condició: Dos conjunts tenen el mateix cardinal si i només si són equipotents.

Si $U$ és l’univers i considerem en $\mathcal{P}(U)$ la relació de equipotència $\sim$ definida per

\begin{array}[]{ccc}A\sim B&\Longleftrightarrow&\#A=\#B\text{,}\end{array}

és immediat comprovar que $\sim$ és una relació d’equivalència en $\mathcal{P}(U)$ i cada classe es diu un nombre cardinal. En altres paraules, $n$ és un nombre cardinal si existeix un conjunt $A$ tal que $\#A=n$ .

Així, tots els conjunts equipotents a un conjunt unitari com, per exemple , $\left\{\emptyset\right\}$ , direm que tenen cardinal $1$ , tots els conjunts equipotents a un parell com, per exemple, $\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\}$ tenen cardinal $2$ , i així successivament. Admetem que el cardinal del conjunt buit és $0$ , és a dir, $\#\emptyset=0$ .

Intuïtivament, és clar que un conjunt finit no pot ser equipotent a un dels seus subconjunts propis. Tanmateix, això és possible per a conjunts infinits. Per exemple, el conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$ és equipotent amb el següent subconjunt propi format pels parells:

P=\left\{2n:n\in\mathbb{N}\right\}

ja que l’aplicació

\begin{array}[]{ccc}\mathbb{N}&\longrightarrow&P\\ n&\longmapsto&2n\end{array}

és bijectiva. Aquest fet justifica la següent definició.

Diem que un conjunt $A$ és infinit si $A$ és equipotent amb un subconjunt propi de $A$ . Si un conjunt no és infinit, llavors diem que és finit. D’aquesta manera, per a dos conjunts finits $A$ i $B$ , evidentment tenim que $A$ és equipotent a $B$ si i només si $A$ i $B$ contenen el mateix nombre d’elements. Per als conjunts infinits, la idea "tenir el mateix nombre d’elements"és vaga, mentre que la idea que $A$ sigui bijectable amb $B$ conserva la seva claredat.

Finalment, diem que un conjunt $A$ és infinit numerable si $A$ és equipotent al conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$ , i diem simplement numerable si $A$ és finit o infinit numerable.

1.3.5.1 Propietats per a conjunts finits

Les fórmules més usuals (encara que no les úniques) que relacionen els cardinals i les operacions entre conjunts són:

1.

$\#\left(A\cup B\right)=$ $\#A+$ $\#B-$ $\#\left(A\cap B\right)$
2.

$\#\left(A\cup B\cup C\right)=$ $\#A+$ $\#B+$ $\#B-$ $\#\left(A\cap B\right)-$ $\#\left(A\cap C\right)-$ $\#\left(B\cap C\right)+$ $\#\left(A\cap B\cap C\right)$
3.

$\#\complement A=$ $\#U-\#A$
4.

$\#\left(A\times B\right)=\#A\cdot\#B$
5.

$\#\mathcal{P}(A)=2^{\#A}$

Les demostracions d’aquestes propietats les trobaràs en els exercicis resolts.

Exemple 1.31.

A un examen de Matemàtiques i Física han concorregut 100 alumnes. Sabent que Física l’han aprovat 60 alumnes, Matemàtiques 48 i que el nombre d’alumnes que han aprovat totes dues assignatures ha estat 30, volem esbrinar el nombre d’alumnes que no han aprovat cap assignatura en aquest examen.

Solució: Tenim els següents conjunts: el conjunt $U$ d’alumnes que s’examinen, el conjunt $A$ d’alumnes que han aprovat Física i el conjunt $B$ d’alumnes que han aprovat Matemàtiques. Per l’enunciat del problema, se sap que $\#U=100$ , $\#A=60$ , $\#B=48$ i $\#A\cap B=30$ . El conjunt d’alumnes que han aprovat alguna assignatura és $A\cup B$ i el nombre d’elements d’aquest conjunt és

	$\displaystyle\#\left(A\cup B\right)$	$\displaystyle=\#A+\#B-\#\left(A\cap B\right)$
		$\displaystyle=60+48-30$
		$\displaystyle=78$

Llavors, el nombre d’alumnes que no han aprovat cap assignatura és $22$ perquè aquest nombre és el cardinal del conjunt $\complement(A\cup B)$ i es compleix que

	$\displaystyle\#\complement(A\cup B)$	$\displaystyle=\#U-\#\left(A\cup B\right)$
		$\displaystyle=100-78$
		$\displaystyle=22\text{.}$

$\square$