1.1 Conjunts

Una caixa de boles, un raïm, o un àlbum de fotos són tots exemples de conjunts de coses o col·leccions d’objectes. La noció de conjunt és fonamental en totes les branques de les matemàtiques. Per exemple:

• •
  ​

  En geometria plana es diu circumferència el conjunt de punts que són equidistants d’un punt fix donat.

• •
  ​

  En àlgebra es parla del conjunt dels nombres parells que està format per tots els enters que són divisibles per 2.

• •
  ​

  En càlcul s’anomena domini d’una funció real de variable real el conjunt de nombres reals pels quals hi ha ben definida la seva imatge.

Emprarem la paraula conjunt com a sinònim de col·lecció d’objectes. Els objectes que formen un conjunt es diuen elements del conjunt. D’aquesta manera, direm que un conjunt està format per elements o que uns determinats elements formen un conjunt.

Ara bé, un conjunt estarà ben definit si és possible donar un criteri que permeti decidir si un element donat qualsevol pertany o no al conjunt. Per exemple, les boles vermelles d’aquesta caixa o les fotos d’en Miquel en aquest àlbum són conjunts ben definits. En el primer cas, una bola de la caixa és del conjunt si és vermella i, en el segon, una foto és del conjunt si en ella apareix en Miquel. Observa ambdós casos, però que abans de definir els conjunts anteriors, tenim els elements, o sigui les boles de la caixa i les fotos de l’àlbum.

Si ara simbolitzem per $U$ una determinada col·lecció d’objectes, llavors diem que uns determinats objectes d’$U$ formen un conjunt $A$ i si $x$ simbolitza un element d’$A$, aleshores direm que l’element $x$ pertany al conjunt $A$ i escriurem

Si $x$ és un element d’$U$, però no és un element de $A$, direm que l’element $x$ no pertany al conjunt $A$ i escriurem

El símbol matemàtic $\in$ s’interpreta com la relació de pertinença que s’estableix entre elements i conjunts. Per consegüent, un conjunt està determinat per una relació de pertinença a ell. Tot i això, com veurem més endavant (quan parlem del conjunt de parts d’un conjunt donat), un element pot ser alhora un conjunt i un conjunt pot ser un element d’un altre conjunt.

Per cursos anteriors, tenim coneixement de l’existència d’alguns conjunts numèrics l’ús dels quals és molt freqüent en les matemàtiques i que es designen amb símbols especials. Així, tenim

Direm que un conjunt està determinat per extensió si donem una llista de tots els seus elements. En tal cas, escriurem als elements entre claus separats per comes. Per exemple, el conjunt $A$ format pels números

l’escriurem per

Un conjunt està determinat per comprensió si donem una condició que satisfan tots els seus elements. Així, el conjunt anterior el podem definir per comprensió dient que $A$ és el conjunt format pels nombres enters positius menors que quatre. En aquest últim cas escriurem

i es llegeix com “$A$ és el conjunt de nombres enters que són majors que 0 i menors que $4$”. En general, si $P(x)$ expressa una condició o propietat que depèn d’una variable $x$, llavors

designa el conjunt dels elements d’$U$ que satisfan la propietat $P(x)$.

Pot ocórrer que per a una certa propietat no hi hagi cap element d’un conjunt atès que la satisfaci. Per aquesta raó, admetem l’existència d’un conjunt que no conté elements i al qual denominem conjunt buit, designant-ho pel símbol $\emptyset$. D’aquesta manera, per a tot $x$ la relació

és sempre falsa, i

és sempre vertadera.

És instructiu representar gràficament un conjunt mitjançant una regió tancada del pla de manera que tots els elements del conjunt estiguin tancats en aquesta regió. Es diuen diagrames de Venn i es construeixen com s’indica en el següent gràfic, on hem representat el conjunt $A=\{a,b,e\}$.

Direm que dos conjunts $A$ i $B$ són iguals si contenen els mateixos elements, és a dir, si per a cada $x$, $x\in A$ equival a $x\in B$. En símbols

i es llegeix “per a tot $x$, $x$ és de $A$ si i només si $x$ és de $B$”. Si els conjunts $A$ i $B$ són iguals, escriurem

i la seva negació per a

El símbol matemàtic $=$ s’interpreta com la relació d’igualtat que s’estableix entre conjunts. A partir de la definició, és immediat comprovar que aquesta relació satisfà les següents propietats:

1. 1.
   ​

   Per a tot conjunt $A$, $A=A$.

   Demostració:  Sabem que $x\in A\Longleftrightarrow x\in A$ és una equivalència lògica. Com $x$ és un element arbitrari d’$A$, aleshores es compleix $\left(\forall x\right)\left(x\in A\Longleftrightarrow x\in A\right)$ i, com a consequència, $A=A$.   $\blacksquare$

2. 2.
   ​

   Donats dos conjunts $A$ i $B$, si $A=B$ llavors $B=A$.

   Demostració:  Sabem que per a tot $x$, es té que $x\in A\longleftrightarrow x\in B$ és equivalent a $x\in B\longleftrightarrow x\in A$ i, per tant, si $A=B$, llavors $B=A$.   $\blacksquare$

3. 3.
   ​

   Donats tres conjunts $A$, $B$ i $C$, si $A=B$ i $B=C$, llavors $A=C$.

   Demostració:  Sabem que per a tot $x$, es té que $x\in A\longleftrightarrow x\in B$ i $x\in B\longleftrightarrow x\in C$. Llavors, per la propietat transitiva del bicondicional es té $x\in A\longleftrightarrow x\in C$ i, per tant, si $A=B$ i $B=C$, llavors $A=C$.   $\blacksquare$

Si $A$ i $B$ són dos conjunts tals que tot element d’$A$ és també un element de $B$, és a dir,

llavors es diu que $A$ és un subconjunt de $B$ o que $A$ està inclòs en $B$ i se simbolitza per a

Mitjançant diagrames de Venn, representem aquest fet així

Si $A\subset B$ i $A\neq B$ es diu que $A$ és un subconjunt propi de $B$. El símbol matemàtic $\subset$ s’interpreta com la relació d’inclusió que s’estableix entre conjunts; en particular, simbolitzem per $A\varsubsetneq B$ el fet que $A$ és un subconjunt propi de $B$. A partir de la definició i regles de deducció lògica, és immediat comprovar que aquesta relació satisfà les següents propietats:

1. 1.
   ​

   Per a tot conjunt $A$, $A\subset A\,$.

2. 2.
   ​

   Donats dos conjunts $A$ i $B$, si $A\subset B$ i $A\supset B$, llavors $A=B$.

3. 3.
   ​

   Donats tres conjunts $A$, $B$ i $C$, si $A\subset B$ i $B\subset C$, llavors $A\subset C$.

En aquest apartat veurem com podem construir nous conjunts a partir d’uns altres ja donats. Suposem que existeix un conjunt $U$ que anomenem univers i del qual prendrem tots els subconjunts.

Es diu parell ordenat de dos elements $x$ i $y$ al conjunt denotat per $(x,y)$ que té per elements els conjunts $\left\{x\right\}$ i $\left\{x,y\right\}$, és a dir,

Llavors, diem que $x$ és la primera component i $y$ és la segona component del parell ordenat $(x,y)$. Per la definició d’igualtat de conjunts, és fàcil deduir que es compleix

mentre que

Per tant, l’única diferència entre els conjunts $\left\{x,y\right\}$ i $(x,y)$ resideix en l’ordre. Si $x$ i$\ y$ són dos elements diferents, llavors $\left\{x,y\right\}=\left\{y,x\right\}$ i, en canvi, $(x,y)\neq(y,x)$.

Donats dos conjunts $A$ i $B$, es diu producte cartesià d’$A$ i $B$ al conjunt denotat per $A\times B$ que té per elements tots els parells ordenats la primera component dels quals és un element d’$A$ i la segona component és un element de $B$, simbòlicament escrivim