4.3 Posa’t a prova amb un test general senzill!

1.

Considera l’enunciat: "Si un nombre és parell ( $p$ ), llavors el seu quadrat és parell ( $q$ )."Quina de les següents afirmacions és falsa?
1. (a)
  
  La seva contrarecíproca és: "Si el quadrat d’un nombre no és parell, llavors el nombre no és parell."
2. (b)
  
  Si $p$ és cert, $q$ també ha de ser cert.
3. (c)
  
  Si $q$ és fals, $p$ també ha de ser fals.
4. (d)
  
  L’enunciat és vertader, però la seva recíproca "Si el quadrat d’un nombre és parell, el nombre és parell"és falsa.
2.

La proposició $(p\vee q)\rightarrow(\lnot p\wedge r)$ és falsa quan:
1. (a)
  
  $p$ és vertadera, $q$ és falsa, i $r$ és falsa.
2. (b)
  
  $p$ és falsa, $q$ és vertadera, i $r$ és vertadera.
3. (c)
  
  $p$ és vertadera, $q$ és vertadera, i $r$ és falsa.
4. (d)
  
  $p$ , $q$ i $r$ són vertaderes.
3.

Sigui el conjunt de l’univers és els nombres enters ( $\mathbb{Z}$ ). Si $P(x)$ és " $x$ és un nombre parellï $Q(x)$ és " $x$ és un nombre senar", quina de les següents afirmacions és vertadera?
1. (a)
  
  $\forall x(P(x)\wedge Q(x))$ és vertadera.
2. (b)
  
  $\exists x(P(x)\wedge Q(x))$ és falsa.
3. (c)
  
  $\lnot\exists xP(x)$ és equivalent a Çap nombre enter és parell."
4. (d)
  
  $\forall x(P(x)\vee Q(x))$ és falsa.
4.

Si l’afirmació "Si plou ( $p$ ), llavors el carrer es mulla ( $q$ )"és falsa, quina de les següents conclusions és certa?
1. (a)
  
  Està plovent i el carrer està mullat.
2. (b)
  
  No plou i el carrer no està mullat.
3. (c)
  
  No plou, però el carrer està mullat.
4. (d)
  
  Està plovent, però el carrer no està mullat.
5.

Per demostrar que si $n^{2}$ és senar, llavors $n$ és senar (per a qualsevol enter $n$ ), la demostració per contrarecíproc ha de provar que:
1. (a)
  
  Si $n$ és parell, llavors $n^{2}$ és parell.
2. (b)
  
  Si $n$ és senar, llavors $n^{2}$ és senar.
3. (c)
  
  Si $n^{2}$ és parell, llavors $n$ és parell.
4. (d)
  
  Si $n^{2}$ és senar, llavors $n$ és senar.
6.

Per provar que la suma de dos nombres senars consecutius és sempre un múltiple de 4, el primer pas de la demostració directa seria expressar els dos nombres com:
1. (a)
  
  $2k+1$ i $2k+3$ per a algun enter $k$ .
2. (b)
  
  $2k$ i $2k+2$ per a algun enter $k$ .
3. (c)
  
  $n$ i $n+1$ per a algun enter $n$ .
4. (d)
  
  $k$ i $k+2$ per a algun enter $k$ .
7.

La demostració de què $\sqrt{3}$ és irracional utilitzant la reducció a l’absurd comença suposant que:
1. (a)
  
  $\sqrt{3}$ és un nombre enter.
2. (b)
  
  $\sqrt{3{}}$ és un nombre racional.
3. (c)
  
  $\sqrt{3{}}=p/q$ , on $p$ i $q$ són parells.
4. (d)
  
  $\sqrt{3{}}=p/q$ , on $p$ i $q$ no tenen factors comuns.
8.

Quina de les següents parelles de proposicions són equivalents?
1. (a)
  
  $p\vee q$ i $\lnot(\lnot p\vee\lnot q)$ .
2. (b)
  
  $p\rightarrow q$ i $\lnot p\vee q$ .
3. (c)
  
  $p\wedge q$ i $\lnot(\lnot p\wedge\lnot q)$ .
4. (d)
  
  $p\leftrightarrow q$ i $(p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow p)$ .
9.

Identifica la fal·làcia en el següent raonament: "Si un estudiant estudia ( $p$ ), aprova l’examen ( $q$ ). L’estudiant ha aprovat l’examen ( $q$ ). Per tant, l’estudiant ha estudiat ( $p$ )."
1. (a)
  
  Fal·làcia de negació de l’antecedent.
2. (b)
  
  Fal·làcia d’afirmació del conseqüent.
3. (c)
  
  Reducció a l’absurd.
4. (d)
  
  Sil·logisme disjuntiu.
10.

L’enunciat "No hi ha cap estudiant que sigui bo en matemàtiques i en física"es pot expressar formalment com:
1. (a)
  
  $\exists x(M(x)\wedge F(x))$
2. (b)
  
  $\forall x(\lnot M(x)\vee\lnot F(x))$
3. (c)
  
  $\lnot\exists x(M(x)\wedge F(x))$
4. (d)
  
  $\forall x(\lnot M(x)\wedge\lnot F(x))$

Les solucions són: 1(d), 2(a), 3(b), 4(d), 5(a), 6(a), 7(b), 8(b), 9(b), 10(c).