4.1 Lògica i raonament

Considerem l’enunciat següent sobre una festa: "Si és el teu aniversari o hi haurà pastís, hi haurà pastís". Quina de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   Si $p=$“és el teu aniversari” i $q=$“hi haurà pastís”, llavors l’enunciat s’expressa formalment així: $\left(p\vee q\right)\longrightarrow q$.

2. (b)
   ​

   Suposant que l’enunciat és cert, podem concloure (si és que hi ha alguna cosa) afirmant només que hi haurà pastís.

3. (c)
   ​

   Suposant que l’enunciat és cert, si no hi haurà pastís podem concloure que és el teu aniversari. (*)

4. (d)
   ​

   Suposem que s’ha descobert que l’afirmació és mentida, aleshores podem concloure que és el teu aniversari, però el pastís és mentida.

Si $p=$“Joan sempre diu la veritat” i $q=$“Jaume sempre menteix”, llavors quina de les següents afirmacions és falsa?

1. (a)
   ​

   L’enunciat “No és cert que en Joan o Jaume diguin sempre mentides” s’expressa formalment d’aquesta manera: $\lnot\left(\lnot p\vee q\right)$.

2. (b)
   ​

   $\lnot p\longrightarrow\lnot q$ és l’enunciat “Si en Joan menteix, llavors en Jaume diu la veritat”.

3. (c)
   ​

   $p\wedge\lnot q$ és l’enunciat “Joan i Jaume no menteixen”.

4. (d)
   ​

   L’enunciat “No és el cas que si en Joan menteix, aleshores en Jaume digui sempre la veritat” s’expressa formalment així $\lnot\left(\lnot p\longrightarrow q\right)$. (*)

Prenent com univers el conjunt del nombres enters $\mathbb{Z}$. Si $p=$“$x$ és múltiple de $3$” i $q=$“$x$ és enter positiu més petit que $10$”. Quina de les següents afirmacions és vertadera?

1. (a)
   ​

   $\lnot\left(\lnot p\vee\lnot q\right)=$“$x$ és mútiple de $3$ més petit que $10$”.

2. (b)
   ​

   $p\longrightarrow\lnot q=$“si $x$ es múltiple de $3$, aleshores $x$ és un enter més petit o igual que $0$ o és més gran o igual que $10$”. (*)

3. (c)
   ​

   $\left(p\wedge\lnot q\right)\vee\left(\lnot p\wedge q\right)=$“$x$ és múltiple de $3$ o $x$ és enter positiu més petit que $10$”.

4. (d)
   ​

   $\left(p\longrightarrow q\right)\vee\lnot p$ és una proposició que només és falsa quan assignem a la variable $x$ valors enters més grans o iguals que $10$”.

La proposició $\left(\lnot p\longleftrightarrow\lnot q\right)\vee\left(r\longrightarrow q\right)$ és falsa quan:

1. (a)
   ​

   $p$ i $q$ són falses, i $r$ és vertadera.

2. (b)
   ​

   $p$ és vertadera, i $q$ i $r$ són vertaderes.

3. (c)
   ​

   $p$ i $r$ són vertaderes, i $q$ és falsa. (*)

4. (d)
   ​

   $p,q$ i $r$ són falses.

Quin parell de formes proposicionals són lògicament equivalents?

1. (a)
   ​

   $A\wedge B$ i $\lnot\left(\lnot A\longrightarrow B\right)$

2. (b)
   ​

   $\left(A\wedge B\right)\vee\left(B\vee\lnot C\right)$ i $\left(\lnot A\vee\lnot B\right)\longrightarrow\lnot\left(\lnot B\wedge C\right)$ (*)

3. (c)
   ​

   $\lnot\left((A\rightarrow\lnot B)\vee\lnot(C\wedge\lnot C)\right)$ i $C\vee\lnot C$

4. (d)
   ​

   $\left(A\longrightarrow B\right)\longleftrightarrow B$ i $A$

En Pere t’estava explicant el que va menjar ahir a la tarda. Et diu: “Vaig prendre crispetes o panses. A més, si tenia entrepans de cogombre, llavors tenia refresc. Però no vaig beure refresc ni te". Per descomptat, sabeu que en Pere és el pitjor mentider del món, i tot el que diu és fals. Què va menjar en Pere?

1. (a)
   ​

   entrepans de cogombre  i te (*)

2. (b)
   ​

   crispetes o panses i refresc

3. (c)
   ​

   nomé te

4. (d)
   ​

   entrepans de cogombre  i refresc

De les premisses $P_{1}=\lnot A\longrightarrow\left(B\longrightarrow\lnot C\right),P_{2}=C\longrightarrow\lnot A,P_{3}=\left(\lnot D\vee A\right)\longrightarrow\lnot\lnot C$ i $P_{4}=\lnot D$, què es pot deduïr si és vàlid?

1. (a)
   ​

   Podem deduir qualsevol cosa perquè les premisses són inconsistents.

2. (b)
   ​

   $B\wedge\lnot\left(A\vee D\right)$

3. (c)
   ​

   $\lnot B\wedge\left(A\vee D\right)$

4. (d)
   ​

   $\lnot\left(A\vee B\vee D\right)$ (*)

Volem simplificar els enunciats següents de manera que la negació només apareix directament al costat dels predicats, quina les següents equivalències no és correcte?

1. (a)
   ​

   $\lnot\exists x\forall y(\lnot O(x)\vee E(y))\Longleftrightarrow\forall x\exists y(O(x)\wedge\lnot E(y))$

2. (b)
   ​

   $\lnot\forall x\lnot\forall y\lnot(x<y\wedge\exists z(x<z\vee y<z))\Longleftrightarrow\exists x\forall y(x<y\wedge\exists z(x<z\vee y<z))$ (*)

3. (c)
   ​

   “Hi ha un nombre $n$ per al qual cap altre nombre és menor o igual a $n$” és equivalent a “Hi ha un nombre $n$ per al qual tots els altres nombres són estrictament majors que $n$”.

4. (d)
   ​

   “És fals que per a cada nombre $n$ hi hagi dos nombres més entre els quals es troba $n$” és equivalent a “Hi ha un nombre $n$ que no està entre altres dos nombres”.

Es diu que el raonament següent és vàlid

perquè es considera com a prova la deducció següent:

1. (a)
   ​

   Ès correcte.

2. (b)
   ​

   No és vàlid perquè EQE 2 no permet escriure $M(a)\wedge\lnot P(a)$ sinó, per exemple, $M(b)\wedge\lnot P(b)$ sent $b$ una instància de $x$ que no apareix abans. (*)

3. (c)
   ​

   El raonament no és vàlid perquè és inconsistent; de les premisses es dedueix $P(a)\wedge\lnot P(a)$.

4. (d)
   ​

   Cap de les respostes anteriors és certa.

Dels següents raonaments: (i) Qui menysprea a tots els fanàtics menysprea també a tots els polítics. Algú no menysprea a un determinat polític. Per consegüent, hi ha un fanàtic al qual no tothom menysprea; i (2) A tots els gats simpàtics i intel·ligents els agrada el fetge picat. Cada siamès és simpàtic. Hi ha un siamès que no li agrada el fetge picat. Per consegüent, hi ha un gat estúpid.

1. (a)
   ​

   (i) i (ii) són vàlids. (*)

2. (b)
   ​

   Cap dels dos és vàlid.

3. (c)
   ​

   (i) és vàlid, i (ii) no.

4. (d)
   ​

   (i) no és vàlid, i (ii) sí.