2.2 Raonament lògic

Exercici 2.13.

Per a cadascun dels raonaments següents, si és vàlid, doneu una deducció, i si no és vàlid, mostreu el perquè.

1.

Si el fre falla i el camí està gelat, llavors el cotxe no pararà. Si el cotxe es va revisar, no fallaran els frens. Però el cotxe no es va revisar. Per tant, el cotxe no pararà.
2.

Si el punt d’una recta representa un enter, llavors el número es pot definir com un decimal infinit o per un parell de decimals infinits. O el número es pot definir per un decimal finit o el número pot ser definit o bé per un decimal infinit o per un parell de decimals infinits. El número no pot ser definit per un decimal finit. Per tant, el punt de la recta representa un enter.
3.

Si el rellotge està avançat, llavors en Joan va arribar abans de les deu i va veure sortir el cotxe de l’Andreu. Si l’Andreu no diu la veritat, llavors en Joan no va veure sortir el cotxe de l’Andreu. L’Andreu no diu la veritat o estava en l’edifici en el moment del crim. El rellotge està avançat. Per tant, l’Andreu estava en l’edifici en el moment del crim.

Solució: (1) Les proposicions simples d’aquest raonament són: $p=$ “els frens fallen”, $q=$ “el camí està gelat”, $r=$ “el cotxe pararáï $s=$ “el cotxe es va revisar”. Expressem ara el raonament simbòlicament:

$P_{1}:$	$\left(p\wedge q\right)\longrightarrow\lnot r$
$P_{2}:$	$s\longrightarrow\lnot p$
$P_{3}:$	$\lnot s$
$C:$	$\lnot r$

L’argument és fals. Prenem com interpretació:

$p$	$q$	$r$	$s$
$V$	$F$	$V$	$F$

, aleshores les premisses són vertaderes

$\left(p\wedge q\right)\longrightarrow\lnot r$	$s\longrightarrow\lnot p$	$\lnot s$
$V$	$V$	$V$

i la conclusió, falsa

\lnot r

F

(2) Les proposicions simples d’aquest raonament són: $p=$ “el punt d’una recta representa un enter”, $q=$ “el número es pot definir com un decimal infinit”, $r=$ “el número es pot definir per un parell de decimals infinitsï $s=$ “el número es pot definir per un decimal finit”. Expressem ara el raonament simbòlicament:

$P_{1}:$	$p\longrightarrow\left(q\vee r\right)$
$P_{2}:$	$\lnot\left(s\longleftrightarrow\left(q\vee r\right)\right)$
$P_{3}:$	$\lnot s$
$C:$	$p$

L’argument és fals. Prenem com interpretació:

$p$	$q$	$r$	$s$
$F$	$V$	$V$	$F$

, aleshores les premisses són vertaderes

$p\longrightarrow\left(q\vee r\right)$	$\lnot\left(s\longleftrightarrow\left(q\vee r\right)\right)$	$\lnot s$
$V$	$V$	$V$

i la conclusió, falsa

p

F

(3) Les proposicions simples d’aquest raonament són: $p=$ “el rellotge està avançat”, $q=$ “Joan va arribar abans de les deu”, $r=$ “Joan va veure sortir el cotxe de l’Andreu", $s=$ “l’Andreu diu la veritat” i $t=$ “Andreu estava en l’edifici en el moment del crim”. Expressem ara el raonament simbòlicament:

$P_{1}:$	$p\longrightarrow\left(q\wedge r\right)$
$P_{2}:$	$\lnot s\longrightarrow\lnot r$
$P_{3}:$	$\lnot s\vee t$
$P_{4}:$	$p$
$C:$	$t$

Ara provarem la validesa d’aquest argument utilitzant les regles d’inferència:

1.	$p\longrightarrow\left(q\wedge r\right)$	$P_{1}$
2.	$\lnot s\longrightarrow\lnot r$	$P_{2}$
3.	$\lnot s\vee t$	$P_{3}$
4.	$p$	$P_{4}$
5.	$q\wedge r$	MP(1,4)
6.	$r$	EC 5
7.	$\lnot\lnot r$	DN 6
8.	$\lnot\lnot s$	MT(2,7)
9.	$t$	ED(3,8)

$\square$

Exercici 2.14.

Per a cadascun dels arguments següents, si és vàlid, doneu una deducció, i si no és vàlid, mostreu el perquè.

$P_{1}:$	$p\longrightarrow q$
$P_{2}:$	$\lnot r\longrightarrow\left(t\longrightarrow s\right)$
$P_{3}:$	$r\vee\left(p\vee t\right)$
$P_{4}:$	$\lnot r$
$C:$	$q\vee s$

$P_{1}:$	$\lnot p\longrightarrow\left(q\longrightarrow\lnot r\right)$
$P_{2}:$	$r\longrightarrow\lnot p$
$P_{3}:$	$\left(\lnot s\vee p\right)\longrightarrow\lnot\lnot r$
$P_{4}:$	$\lnot s$
$C:$	$\lnot q$

Solució: (1) L’argument és vàlid i una deducció és:

1.	$p\longrightarrow q$	$P_{1}$
2.	$\lnot r\longrightarrow\left(t\longrightarrow s\right)$	$P_{2}$
3.	$r\vee\left(p\vee t\right)$	$P_{3}$
4.	$\lnot r$	$P_{4}$
5.	$p\vee t$	ED(3,4)
6.	$t\longrightarrow s$	MP(2,4)
7.	$q\vee s$	DL(1,5,6)

(2) L’argument també és vàlid i una deducció és:

1.	$\lnot p\longrightarrow\left(q\longrightarrow\lnot r\right)$	$P_{1}$
2.	$r\longrightarrow\lnot p$	$P_{2}$
3.	$\left(\lnot s\vee p\right)\longrightarrow\lnot\lnot r$	$P_{3}$
4.	$\lnot s$	$P_{4}$
5.	$\lnot s\vee p$	ID 4
6.	$\lnot\lnot r$	MP(3,5)
7.	$r$	DN 6
8.	$\lnot p$	MP(2,7)
9.	$q\longrightarrow\lnot r$	MP(1,8)
10.	$\lnot q$	MT(6,9)

$\square$

Exercici 2.15.

Escriviu una deducció per el següent raonament. Indiqueu si les premisses són consistents o inconsistents:“Els ordinadors són útils i divertits i els ordinadors consumeixen molt de temps. Si els ordinadors són difícils d’utilitzar, no són divertits. Si els ordinadors no estan ben dissenyats, llavors són difícils d’utilitzar. Per tant, els ordinadors estan ben dissenyats”.

Solució: (1) Les proposicions simples d’aquest raonament són: $p=$ “els ordinadors són útils i divertits”, $q=$ “els ordinadors consumeixen molt de temps”, $r=$ “els ordinadors són difícils d’utilitzarï $s=$ “els ordinadors estan ben dissenyats”. Expressem ara el raonament simbòlicament:

$P_{1}:$	$p\wedge q$
$P_{2}:$	$r\longrightarrow\lnot p$
$P_{3}:$	$\lnot s\longrightarrow r$
$C:$	$s$

Ara provarem la validesa d’aquest argument utilitzant les regles d’inferència:

1.	$p\wedge q$	$P_{1}$
2.	$r\longrightarrow\lnot p$	$P_{2}$
3.	$\lnot s\longrightarrow r$	$P_{3}$
5.	$p$	EC(1)
6.	$\lnot\lnot p$	DN 5
7.	$\lnot r$	MT(2,6)
8.	$\lnot\lnot s$	MT(3,7)
9.	$s$	DN 8

Podem provar la consistència de les premisses comprovant que hi ha una interpretació que faci totes les premisses vertaderes:

$p$	$\wedge$	$q$	$r$	$\longrightarrow$	$\lnot$	$p$	$\lnot$	$s$	$\longrightarrow$	$r$
	V			V					V
V	V	V	F	V	F	V	F	V	V	F

$\square$

Exercici 2.16.

És una fal·làcia el raonament següent: “Si el poble elegeix un alcalde, s’augmentaran els impostos. Si no s’augmenten els impostos al poble, llavors no es construirà un estadi nou. El poble no tria un alcalde. Per tant, no es construirà un estadi nou”.

Solució: Si formalitzem l’argument prenent: $p=$ “el poble elegeix un alcalde”, $q=$ “augmentarà els impostos”, i $r=$ “es construirà un estadi nou”. Aleshores, es té

$P_{1}:$	$p\longrightarrow q$
$P_{2}:$	$\lnot q\longrightarrow\lnot r$
$P_{3}:$	$\lnot p$
$C:$	$\lnot r$

Es clar que es tracta d’una fal·làcia perquè es pensa que pel fet de no triar un alcalde no s’augmentaran els impostos i com a consequència no es construirà un estadi nou. Això és fals com es pot veure a continuació:

$p$	$\longrightarrow$	$q$	$\lnot$	$q$	$\longrightarrow$	$\lnot$	$r$	$\lnot$	$p$	$\lnot$	$r$
	V				V!			V		F
F	V	F	V	F	F!	F	V	V	F	F	V

$\square$

Exercici 2.17.

Formalitzeu els següents enunciats: (1) “Tots els enters que no són senars són parells”; (2) “Hi ha un nombre enter que no és parell”; (3) “Per a cada nombre real $x$ , hi ha un nombre real $y$ per al qual $y^{3}=x$ ”; i (4) “Donats dos nombres racionals $a$ i $b$ , el producte $ab$ és racional”.

Solució: Primer identifiquem els predicats i després escrivim l’enunciat simbòlicament.

(1) Suposem que $P$ és el predicat "ser parellï $S$ és el predicat "ser senar", aleshores es té:

\forall x\in\mathbb{Z}\text{, }\lnot S(x)\longrightarrow P(x)\text{,}

o també, més formalment,

\left(\forall x\right)\left(\left(x\in\mathbb{Z}\wedge\lnot S(x)\right)% \longrightarrow P\left(x\right)\right)\text{.}

(2) Usant la mateixa notació que l’apartat anterior, es té:

\exists x\in\mathbb{Z}\text{, }\lnot P\left(x\right)\text{,}

o bé,

\left(\exists x\right)\left(x\in\mathbb{Z\wedge}\lnot P\left(x\right)\right)% \text{.}

(3) L’enunciat simbòlicament s’escriu així:

\forall x\in\mathbb{R}\text{, }\exists y\in\mathbb{R}\text{, }y^{3}=x\text{,}

o bé, també com

\left(\forall x\right)\left(\exists y\right)\left(x\in\mathbb{R\wedge}\text{ }% y\in\mathbb{R\wedge\leavevmode\nobreak\ }y^{3}=x\right)\text{.}

(4) L’enunciat s’escriu així simbòlicament:

\forall a,b\in\mathbb{Q}\text{, }ab\in\mathbb{Q}\text{,}

o bé, com

\left(\forall a,b\right)\left(a,b\in\mathbb{Q}\longrightarrow ab\in\mathbb{Q}% \right)\text{.}

$\square$

Exercici 2.18.

Expresseu formalment els enunciats següents:

1.

Algú no va fer els deures.
2.

Tothom al dormitori té un company de pis que no li agrada.
3.

Si algú al dormitori té un amic que té el xarampió, llavors tothom el dormitori s’haurà de posar en quarantena.
4.

Tot en aquesta botiga té un preu excessiu o està mal fet.

Solució: (1) Si $P(x)=$ “ $x$ fa els deures”, aleshores l’enunciat es formalitza d’aquesta manera: $\exists x\lnot P(x)$ .

(2) Necessitem tres predicats per formalitzar l’enunciat: $P(x)=$ “ $x$ viu en el pis”, $Q(x,y)=$ “ $x$ i $y$ són company de pis” i $R(x,y)=$ “ $x$ li agrada $y$ ”. Aleshores es té:

\forall x(P(x)\longrightarrow\exists y\left(Q\left(x,y\right)\wedge\lnot R% \left(x,y\right)\right)

(3) Introduïm quatre predicats per formalitzar l’enunciat: $P(x)=$ “ $x$ viu en el pis”, $Q(x,y)=$ “ $x$ i $y$ són amics”, $R(x)=$ “ $x$ té xarampió” i $S(x)=$ “ $x$ està en quarantena”. Aleshores escribim

\forall x\left(P(x)\longrightarrow\exists y\left(\left(R(y)\wedge Q\left(x,y% \right)\right)\longrightarrow S(x)\right)\right)

(4) Si considerem $P(x)=$ “ $x$ està a la botiga”, $Q(x)=$ “ $x$ té el preu excessiu” i $R(x)=$ “ $x$ està mal fet”, llavors l’enunciat formalitzat s’escriu així:

\forall x\left(P(x)\longrightarrow\left(Q(x)\vee R(x)\right)\right)

$\square$

Exercici 2.19.

Tradueix les expressions següents en paraules:

1.

$\forall x\left(\left(H(x)\wedge\lnot\exists yC(x,y)\right)\longrightarrow\lnot F% (x)\right)$ , si $H(x)=$ “x és un home”, $C(x,y)=$ “ $x$ està casat amb $y$ ” i $F(x)=$ “ $x$ és feliç”.
2.

$\forall x\left(W(x)\wedge Z(x)\right)$ , si $Z(x)=$ “ $x$ li agrada les croquetes” i $W(x)=$ “ $x$ té una granota de mascota”.
3.

$\exists x\left(N(x)\wedge\forall y\left(N(y)\longrightarrow x\leq y\right)\right)$ , si $N(x)=$ “ $x$ es un nombre natural”.

Solució: (1) “Tot home que no està casat no és feliç”, o dit en unes altres paraules, “Tots els homes solters són infeliços”.

(2) “A tots els que tenen una granota com a mascota els agraden les croquetes”.

(3) “Existeix un nombre natural més petit o igual que qualsevol altre nombre natural”. $\square$

Exercici 2.20.

Què signifiquen les afirmacions següents? Són vertaderes o falses? L’univers del discurs en cada cas és $\mathbb{N}$ , el conjunt de tots els nombres naturals.

1.

$\forall x\exists y(x<y)$ .
2.

$\exists y\forall x(x<y)$ .
3.

$\exists x\exists y(x<y)$ .
4.

$\exists x\forall y(x<y)$ .
5.

$\forall y\forall x(x<y)$ .

Solució: (1) Això vol dir que per a cada nombre natural $x$ , l’afirmació $\exists y(x<y)$ és certa. En altres paraules, per a cada nombre natural $x$ , hi ha un nombre natural més gran que $x$ . Això és cert. Per exemple, $x+1$ sempre és més gran que $x$ .

(2) Això vol dir que hi ha algun nombre natural $y$ tal que l’enunciat $\forall x(x<y)$ és cert. En altres paraules, hi ha algun nombre natural $y$ tal que tots els nombres naturals són més petits que $y$ . Es clar que això és fals. No importa el nombre natural $y$ que triem, sempre hi haurà nombres naturals més grans.

(3) Això vol dir que hi ha un nombre natural $x$ tal que $\exists y(x<y)$ és cert. Però com hem vist al primer apartat, això és cert per a tots els nombres naturals $x$ , de manera que en particular és cert per almenys un.

(4) Això vol dir que hi ha un nombre natural $x$ tal que l’enunciat $\forall y(x<y)$ és cert. Podríeu tenir la temptació de dir que aquesta afirmació serà certa si $x=0$ , però això no és correcte. Com que $0$ és el nombre natural més petit, l’enunciat $0<y$ és cert per a tots els valors de $y$ excepte $y=0$ , però si $y=0$ , llavors $0<y$ és fals i, per tant, $\forall y(0<y)$ és fals. Un raonament similar mostra que per a cada valor de $x$ l’enunciat $\forall y(x<y)$ és fals, per tant $\exists x\forall y(x<y)$ és fals.

(5) Això vol dir que per a cada nombre natural $x$ , l’enunciat $\forall y(x<y)$ és vertader. Però com hem vist a l’apartat anterior, ni tan sols hi ha un valor de $x$ per al qual aquesta afirmació és certa. Així doncs $\forall x\forall y(x<y)$ és fals. $\square$

Exercici 2.21.

Escriu la negació de l’enunciat següent: “per a cada nombre real $\varepsilon>0$ , hi ha un enter positiu $k$ tal que per a tots els enters positius $n$ , es té $\left|a_{n}-k^{2}\right|<\varepsilon$ ”.

Solució: Considerem com univers del discurs el conjunt de tots els nombres reals i simbolitzem per $\mathbb{Z}^{+}$ el conjunt del enters positius. D’aquesta manera l’enunciat s’escriu formalment així:

\forall\varepsilon>0,\exists k\in\mathbb{Z}^{+},\forall n\in\mathbb{Z}^{+},% \left|a_{n}-k^{2}\right|<\varepsilon\text{.}

Aleshores la seva negació és:

\exists\varepsilon>0,\forall k\in\mathbb{Z}^{+},\exists n\in\mathbb{Z}^{+},% \left|a_{n}-k^{2}\right|\geq\varepsilon\text{,}

que s’expressa en paraules com existeix un nombre real $\varepsilon>0$ tal que per a tot nombre enter positiu $k$ existeix un nombre enter positiu $n$ que fa que es compleixi $\left|a_{n}-k^{2}\right|\geq\varepsilon$ . $\square$

Exercici 2.22.

Assumint com a domini de les variables $x$ i $y$ el conjunt $U$ , escriviu una deducció per el següent raonament:

$P_{1}:$	$\forall x\left(\left(A(x)\longrightarrow R(x)\right)\vee T(x)\right)$
$P_{2}:$	$\exists x\left(T(x)\longrightarrow P(x)\right)$
$P_{3}:$	$\forall x\left(A(x)\wedge\lnot P(x)\right)$
$C:$	$\exists x\ R(x)$

Solució: Fem ara la deducció per provar la seva validesa:

1.	$\forall x\left(\left(A(x)\longrightarrow R(x)\right)\vee T(x)\right)$	$P_{1}$
2.	$\exists x\left(T(x)\longrightarrow P(x)\right)$	$P_{2}$
3.	$\forall x\left(A(x)\wedge\lnot P(x)\right)$	$P_{3}$
4.	$T(a)\longrightarrow P(a)$	EQE 2
5.	$\left(A(a)\longrightarrow R(a)\right)\vee T(a)$	EQU 1
6.	$A(a)\wedge\lnot P(a)$	EQU 3
7.	$\lnot P(a)$	EC 6
8.	$\lnot T(a)$	MT(4,7)
9.	$A(a)\longrightarrow R(a)$	ED(5,8)
10.	$A(a)$	EC 6
11.	$R(a)$	MP(9,10)
14.	$\exists x\leavevmode\nobreak\ R(x)$	IQE 11

$\square$

Exercici 2.23.

Escriviu una deducció del argument següent: “Tota panerola intel·ligent menga escombraries. Hi ha una panerola que li agrada la brutícia i no li agrada la pols. Per a cada panerola, no és el cas que no li agradi la brutícia o mengi escombraries. Per tant, hi ha una panerola tal que no és el cas que si no és intel·ligent, li agradi la pols.”.

Solució: Formalitzem els enunciats del raonament. Per facilitar l’escriptura, considerem que la variable $x$ té per domini el conjunt de totes les paneroles. Denotem per $I$ , $E$ , $B$ i $P$ els predicats “és intel·ligent”, “mengen porqueria”, “agrada la brutícia”, i “agrada la pols”, respectivament. Aleshores, el raonament podem simbolitzar-lo d’aquesta manera:

$P_{1}:$	$\forall x\leavevmode\nobreak\ \left(I(x)\longrightarrow E(x)\right)$
$P_{2}:$	$\exists x\leavevmode\nobreak\ \left(B(x)\wedge\lnot P(x)\right)$
$P_{3}:$	$\forall x\leavevmode\nobreak\ \lnot\left(\lnot B(x)\vee E(x)\right)$
$C:$	$\exists x\leavevmode\nobreak\ \lnot\left(\lnot I(x)\longrightarrow P(x)\right)$

Fem ara la deducció per provar la seva validesa:

1.	$\forall x\leavevmode\nobreak\ \left(I(x)\longrightarrow E(x)\right)$	$P_{1}$
2.	$\exists x\leavevmode\nobreak\ \left(B(x)\wedge\lnot P(x)\right)$	$P_{2}$
3.	$\forall x\leavevmode\nobreak\ \lnot\left(\lnot B(x)\vee E(x)\right)$	$P_{3}$
4.	$B(a)\wedge\lnot P(a)$	EQE 2
5.	$\lnot\left(\lnot B(a)\vee E(a)\right)$	EQU 3
6.	$B(a)\wedge\lnot E(a)$	DM 5
7.	$I(a)\longrightarrow E(a)$	EQU 1
8.	$\lnot E(a)$	EC 6
9.	$\lnot I(a)$	MT(7,8)
10.	$\lnot P(a)$	EC 4
11.	$\lnot I(a)\wedge\lnot P(a)$	IC(9,10)
12.	$\lnot\left(I(a)\vee P(a)\right)$	DM 11
13.	$\lnot\left(\lnot I(a)\longrightarrow P(a)\right)$	EQ
14.	$\exists x\leavevmode\nobreak\ \lnot\left(\lnot I(x)\longrightarrow P(x)\right)$	IQE 13

on EQ significa que hem aplicat l’equivalencia lògica: $A\longrightarrow B\Longleftrightarrow\lnot A\vee B$ . $\square$