Números reales: Ejercicios propuestos

1.

Expresa la relación de pertenencia a los conjuntos $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ de los siguientes números:

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&2/5&&b)&\sqrt{6}&&c)&2{,}87333...\\ &&&&&&&\\ d)&0{,}4142434...&&e)&3{,}1415926535...&&f)&-7{,}832\\ &&&&&&&\\ g)&5{,}272727...&&h)&5{,}000...&&i)&\sqrt[5]{3}\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&\mathbb{Q}&b)&\mathbb{R}&c)&\mathbb{Q}\\ d)&\mathbb{R}&e)&\mathbb{R}&f)&\mathbb{Q}\\ g)&\mathbb{Q}&h)&\mathbb{N}&i)&\mathbb{R}\end{array}$
2.

De los siguientes números reales, después de efectuar las operaciones indicadas, indica cuáles son racionales y cuáles no:

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&\sqrt[3]{-27}&&b)&(1/5)^{1/2}&&c)&\sqrt{100}\\ &&&&&&&\\ d)&\left(\sqrt{3}\right)^{0}&&e)&7^{-1}&&f)&(-64)^{1/3}\\ &&&&&&&\\ g)&(1/3)^{-1/2}&&h)&(1/2)^{-1}&&i)&\sqrt[4]{1/81}\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&-3\in\mathbb{Q}&b)&1/\sqrt{5}\notin\mathbb{Q}&c)&10% \in\mathbb{Q}\\ d)&1\in\mathbb{Q}&e)&1/7\in\mathbb{Q}&f)&-4\in\mathbb{Q}\\ g)&\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}&h)&2\in\mathbb{Q}&i)&1/3\in\mathbb{Q}\end{array}$
3.

Ordena de menor a mayor los siguientes números reales:

$\begin{array}[c]{cccccc}-3/5&1{,}348125...&-1{,}8222...&-\sqrt{2}&\left|-5/3% \right|&\frac{2}{5}\end{array}$

Solución:

$-1{,}8222...<-3/5<-\sqrt{2}<1{,}348125...<2/5<\left|-5/3\right|$
4.

Representa en la recta real, los puntos siguientes

$\begin{array}[c]{cccccc}-\sqrt{2}&\sqrt{5}&-2\sqrt{5}&\sqrt{5}-1&\sqrt{3}&2% \sqrt{3}-\sqrt{2}\end{array}$

y, después, ordénalos de menor a mayor.

Solución: $-2\sqrt{5}<-\sqrt{2}<\sqrt{5}-1<\sqrt{3}<2\sqrt{3}-\sqrt{2}<\sqrt{5}$
5.

Formar las dos sucesiones de aproximaciones sucesivas por defecto y por exceso correspondientes a los números siguientes: (a) $7{,}28$ , (b) $15{,}343434...$ y (c) $-2{,}357357357...$

Solución:(a)

$\begin{array}[c]{rccccc}\text{defecto:}&7&7{,}2&7{,}28&7{,}280&\cdots\\ \text{exceso:}&8&7{,}3&7{,}29&7{,}281&\cdots\end{array}$

(b)

$\begin{array}[c]{rccccc}\text{defecto:}&15&15{,}3&15{,}34&15{,}343&\cdots\\ \text{exceso:}&16&15{,}4&15{,}35&15{,}344&\cdots\end{array}$

(c)

$\begin{array}[c]{rccccc}\text{defecto:}&-3&-2{,}4&-2{,}36&-2{,}358&\cdots\\ \text{exceso:}&-2&-2{,}3&-2{,}35&-2{,}357&\cdots\end{array}$
6.

Halla una sucesión de intervalos encajados que determine a cada uno de los siguientes números reales: (a) $2{,}757575...$ (b) $3{,}2484848...$ y (c) $\pi$ .

Solución: (a)

$[2,3]\supset[2{,}7,2{,}8]\supset[2{,}75,2{,}76]\supset[2{,}757,2{,}758]\supset\cdots$

(b)

$[3,4]\supset[3{,}2,3{,}3]\supset[3{,}24,3{,}24]\supset[3{,}248,3{,}249]\supset\cdots$

(c)

$[3,4]\supset[3{,}1,3{,}2]\supset[3{,}14,3{,}15]\supset[3{,}141,3{,}142]\supset\cdots$
7.

Escribe dos sucesiones de intervalos encajados que definan el número $2$ .

Solución:

$[1,2]\supset[1{,}9,2{,}0]\supset[1{,}99,2{,}00]\supset[1{,}999,2{,}000]\supset\cdots$

$[2,3]\supset[2{,}0,2{,}1]\supset[2{,}00,2{,}01]\supset[2{,}000,2{,}001]\supset\cdots$
8.

Halla tres números reales que estén comprendidos entre $1{,}342178...$ y $1{,}342179...$

Solución:Por ejemplo: $1{,}3421781$ , $1{,}3421782$ y $1{,}3421783$
9.

Calcula el valor de la diagonal de un rectángulo de lados $1$ y $\sqrt{2}$ y determina si es racional o irracional.

Solución: $\sqrt{3}$ , que es un número irracional
10.

A un rectángulo de altura $1$ y base el número aúreo $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se le quita un cuadrado de lado 1, resultando otro rectángulo. Halla las longitudes de los lados de este rectángulo y prueba que es semejante al rectángulo dado.

Solución: Las dimensiones del rectángulo son $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ y $1$ . Además,

$\displaystyle\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ $\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$

$\displaystyle=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$

$\displaystyle=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$\displaystyle=\frac{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}{1}$
11.

Suponiendo que $x=y$ , ¿en qué paso de la siguiente deducción se comete error?

$\begin{array}[c]{cc}(1)&x^{2}=xy\\ (2)&x^{2}-y^{2}=xy-y^{2}\\ (3)&(x+y)(x-y)=y(x-y)\\ (4)&x+y=y\\ (5)&2y=y\\ (6)&2=1\end{array}$

Solución: Al pasar de (3) a (4) no se puede simplificar por $x-y$ ya que $x-y=0$
12.

En una batalla han participado 4000 hombres. De los supervivientes, el $56.\widehat{56}$ % no fuma y el $56.\widehat{756}$ % no bebe. ¿ Cuántos hombres han muerto?

Solución: El número de hombres que han muerto en la batalla es $337$
13.

Halla todos los números reales $x$ tales que: (a) $x^{2}>3x+4$ y (b) $1<x^{2}<4$ .

Solución: (a) $(-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$ y (b) $(-2,-1)\cup(1,2)$
14.

Resuelve las siguientes inecuaciones:
1. a)
  
  $\left|x+1\right|<2$
2. b)
  
  $\left|2x-1\right|<\left|x-1\right|$
3. c)
  
  $\left|x+2\right|+\left|x-2\right|\leq 12$
4. d)
  
  $\left|\left|x+1\right|-\left|x-1\right|\right|<1$
Solución: (a) $(-3,1)$ , (b) $(0,2/3)$ , (c) $[-6,6]$ y (d) $(-1/2,1/2)$
15.

Halla el supremo y el ínfimo de los siguientes subconjuntos de números reales, indicando si son máximo o mínimo respectivamente.
1. a)
  
  $A=\left\{x\in\mathbb{R}:0<x^{2}\leq 2\right\}$
2. b)
  
  $B=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}$
3. c)
  
  $C=\left\{x\in\mathbb{R}:0<(x-2)^{2}\leq 3\right\}$
4. d)
  
  $D=\left\{\frac{1}{3^{m}}:m\in\mathbb{Z}\right\}$
Solución:

$\begin{array}[c]{ccccc}\text{conjunto}&\sup&\mathop{\operator@font\acute{{% \imath}}nf}&\mathop{\operator@font m\acute{a}x}&\mathop{\operator@font m\acute% {{\imath}}n}\\ A&\sqrt{2}&-\sqrt{2}&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ B&1&0&1&\text{No existe}\\ C&2+\sqrt{3}&2-\sqrt{3}&2+\sqrt{3}&2-\sqrt{3}\\ D&\text{No existe}&0&\text{No existe}&\text{No existe}\end{array}$
16.

Expresa en forma de intervalos los siguientes conjuntos:
1. a)
  
  $A=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x^{2}-2\right|\leq 1\right\}$
2. b)
  
  $B=\left\{x\in\mathbb{R}:x^{2}+3x+3<1\right\}$
3. c)
  
  $C=\left\{x\in\mathbb{R}:(x^{2}-x-1)/(x-1)>1\right\}$
4. d)
  
  $D=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x-1\right|\left|x+2\right|=3\right\}$
Solución:

$\begin{array}[c]{l}A=[-\sqrt{3},-1]\cup[1,\sqrt{3}]\\ B=(-2,-1)\\ C=(0,1)\cup(2,+\infty)\\ D=\left\{\frac{-1-\sqrt{21}}{2},\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right\}\end{array}$
17.

Escribe el conjunto de puntos cuya distancia a $5$ sea menor que $1/2$ .

Solución: $\left\{x\in\mathbb{R}:d(x,5)<1/2\right\}=(9/2,11/2)$
18.

Expresa en forma de entornos los siguientes intervalos

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&(-1,5)&b)&(0,3)&c)&(8,12)\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&E_{2}(3)&b)&E_{3/2}(3/2)&c)&E_{10}(2)\end{array}$
19.

Escribe en notación científica los siguientes números: (a) $30^{4}$ , (b) $(30000)^{-3}$ (c) $(0{,}025)^{2}$ y (d) $(4{,}56^{2})^{3}$

Solución: (a) $8{,}1\times 10^{5}$ , (b) $3{,}7\times 10^{-14}$ , (c) $6{,}25\times 10^{-4}$ y (d) $8{,}99\times 10^{3}$
20.

Halla en cada caso el valor de $x$

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&\sqrt{x}=3&&b)&\sqrt[3]{x+1}=3&&c)&\sqrt[4]{5x-4}% =2\\ &&&&&&&\\ d)&\sqrt[3]{x}+3=1&&e)&3x^{3}+1=25&&f)&1+\sqrt[3]{2x}=7\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&9&b)&26&c)&4\\ d)&-8&e)&2&f)&108\end{array}$

21.

Convierte en una sola raíz las expresiones siguientes:

\begin{array}[c]{llllllll}a)&\sqrt[4]{2a^{2}b}\cdot\sqrt[4]{4ab^{2}}&&b)&5a^{2% }\cdot\sqrt[4]{3a^{3}b^{2}}&&c)&\frac{3\cdot\sqrt[3]{2a^{2}bc^{2}}\cdot\sqrt[3% ]{6a^{4}b^{2}}}{2a\cdot\sqrt[3]{ab^{4}c}}\\ &&&&&&&\\ d)&\frac{\left(\sqrt[7]{a^{6}}\right)^{2}\cdot\left(\sqrt[7]{a}\right)^{5}}{a^% {2}\cdot\left(\sqrt[7]{a}\right)^{2}}&&e)&a\cdot\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^{3}}% }\right)^{5}&&f)&\sqrt[3]{4a^{2}}\cdot\sqrt[6]{2a}\cdot\sqrt[4]{4a}\\ &&&&&&&\\ g)&\frac{\sqrt[4]{5a^{3}}\cdot\sqrt[6]{5a}}{\sqrt[3]{5a^{2}}\cdot\sqrt{a}}&&h)% &\sqrt{a^{2}\cdot\sqrt[4]{a\cdot\sqrt[5]{a}}}&&i)&\frac{\sqrt[5]{a^{2}\cdot% \sqrt[3]{b^{-8}\cdot a^{-4}}}}{\sqrt[4]{a^{-2}\cdot b^{3}\cdot\sqrt[3]{a^{5}% \cdot b^{4}}}}\end{array}

Solución:

\begin{array}[c]{cccccc}a)&\sqrt[4]{8a^{3}b^{3}}&b)&\sqrt[4]{1875a^{11}b^{2}}&% c)&\sqrt[3]{\frac{81a^{2}c}{2b}}\\ d)&\sqrt[7]{a}&e)&\sqrt[4]{a^{9}}&f)&\sqrt[12]{65536a^{13}}\\ g)&\sqrt[12]{\frac{5}{a^{3}}}&h)&\sqrt[20]{a^{23}}&i)&\sqrt[60]{\frac{a^{13}}{% b^{97}}}\end{array}

22.

Simplifica las raíces siguientes:

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&\sqrt[3]{2592\cdot a^{11}\cdot b^{23}\cdot c^{102% }}&&b)&\sqrt[3]{\frac{864a^{7}b^{2}}{625d^{9}c^{112}}}&&c)&\frac{\sqrt[5]{81a^% {4}b^{3}}}{\sqrt[5]{27a^{3}b^{4}}}\\ &&&&&&&\\ d)&\sqrt[4]{4a^{3}x^{2}}\cdot\sqrt[4]{72ax^{2}}\cdot\sqrt[4]{18a^{2}x}&&e)&% \sqrt[4]{125\cdot\sqrt{625\cdot\sqrt[5]{25}}}&&f)&\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{25}% \cdot\sqrt[5]{5}}{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[4]{125}}}\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&6a^{3}b^{7}c^{34}\sqrt[3]{12a^{2}b^{2}}&b)&\frac{6a% ^{2}}{5d^{3}c^{37}}\sqrt[3]{\frac{4ab^{2}}{5c}}&c)&\sqrt[5]{\frac{3a}{b}}\\ d)&6ax\cdot\sqrt[4]{4a^{2}x}&e)&5\sqrt[10]{125}&f)&\sqrt[180]{1/5^{13}}\end{array}$
23.

Simplifica las siguientes expresiones:
1. a)
  
  $\sqrt{343}+\sqrt{48}+\sqrt{\frac{28}{81}}+\sqrt{\frac{300}{121}}$
2. b)
  
  $\sqrt{125}-3\sqrt{80}-4\sqrt{45}+10\sqrt{180}$
3. c)
  
  $\sqrt[3]{\frac{81}{8}}-\sqrt[3]{\frac{375}{64}}+\sqrt[3]{\frac{81}{125}}$
4. d)
  
  $(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(2-\sqrt{6})^{2}$
5. e)
  
  $(3+\sqrt{5})^{2}-3(2\sqrt{5}-3)^{2}$
Solución:

$\begin{array}[c]{ll}a)&\frac{65}{9}\sqrt{7}+\frac{54}{11}\sqrt{3}\\ b)&65\sqrt{5}\\ c)&\frac{17}{20}\sqrt[3]{3}\\ d)&5\sqrt{6}-10\\ e)&42\sqrt{5}-73\end{array}$
24.

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&\frac{14\sqrt{5}}{\sqrt[3]{7}}&&b)&\frac{3\sqrt{2% }}{\sqrt{18}}&&c)&\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{12}}{14\sqrt{3}}\\ &&&&&&&\\ d)&\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt[4]{3}}&&e)&\frac{1}{\sqrt[3]{8a^{2}}}&&f)&\frac{6ab}% {\sqrt[4]{288a^{2}b^{5}}}\\ &&&&&&&\\ g)&\frac{a}{\sqrt{2a+1}}&&h)&\frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{a+b}}&&i)&\frac{1+x}{% \sqrt{1-x^{2}}}\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&2\sqrt{5}\cdot\sqrt[3]{49}&b)&1&c)&1/2\\ d)&2\sqrt{5}\cdot\sqrt[4]{27}&e)&\frac{\sqrt[3]{a}}{2a}&f)&\frac{\sqrt[4]{72a^% {2}b^{3}}}{2b}\\ g)&\frac{a\sqrt{2a+1}}{2a+1}&h)&(a-b)\sqrt{a+b}&i)&\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1-x}% \end{array}$
25.

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:
1. a)
  
  $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
2. b)
  
  $\frac{\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$
3. c)
  
  $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
4. d)
  
  $\frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}-1}$
5. e)
  
  $\frac{3+4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}$
6. f)
  
  $\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{3}}}$
Solución:

$\begin{array}[c]{ll}a)&\sqrt{3}-\sqrt{2}\\ b)&\frac{3\sqrt{2}+2}{7}\\ c)&5+2\sqrt{6}\\ d)&7\sqrt{2}+9\\ e)&\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\\ f)&\frac{1}{6}(3+\sqrt{3})\sqrt{3-\sqrt{3}}\end{array}$
26.

Opera y simplifica en las expresiones siguientes:
1. a)
  
  $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}-\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5}{\sqrt{5}}$
2. b)
  
  $\frac{1+\sqrt{15}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}+\frac{1-\sqrt{15}}{(\sqrt{5}+\sqrt% {3})^{2}}$
3. c)
  
  $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{2}}-2$
Solución:

$\begin{array}[c]{cc}a)&0\\ b)&19\\ c)&\sqrt{6}\end{array}$
27.

Simplifica las expresiones siguientes:
1. a)
  
  $\sqrt{a+b+\sqrt{2ab}}\cdot\sqrt{a+b-\sqrt{2ab}}$
2. b)
  
  $\sqrt{1-2\sqrt{x}+x}$
3. c)
  
  $\sqrt{192(x+1)^{4}(x-9)^{2}}$
4. d)
  
  $\sqrt{\frac{a-b}{(a+b)^{2}}}\cdot\sqrt{\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}}}$
5. e)
  
  $\sqrt{4a^{2}+12ab+9b^{2}}$
Solución:

$\begin{array}[c]{ll}a)&\sqrt{a^{2}+b^{2}}\\ b)&1-\sqrt{x}\\ c)&8\sqrt{3}\cdot(x+1)^{2}\cdot(x-9)\\ d)&\frac{1}{a+b}\\ e)&2a+3b\end{array}$
28.

Calcula las siguientes expresiones:

$\begin{array}[c]{llllllll}a)&16^{0{,}25}&&b)&4^{-3/2}&&c)&\sqrt[11]{\frac{9}{2% 7^{-3}}}\\ &&&&&&&\\ d)&\left(\sqrt{27}\cdot 27^{-5/3}\right)^{1/3}&&e)&0{,}0064^{1/2}&&f)&2\sqrt{% \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}}\\ &&&&&&&\\ g)&\left[\left(a^{-4}\right)^{1/3}\cdot\left(a^{2}\right)^{2/3}\right]:\left(a% ^{-3}\right)^{1/3}&&h)&\left[\left(a^{1/4}\right)^{3}\right]^{-4/3}&&i)&\left(% a^{-4}\right)^{1/3}\cdot\left(a^{2}\right)^{2/3}\cdot a^{-3}\end{array}$

Solución:

$\begin{array}[c]{cccccc}a)&2&b)&1/8&c)&3\\ d)&3^{-7/6}&e)&2/25&f)&\sqrt[16]{2}\\ g)&a&h)&1/a&i)&1/a^{3}\end{array}$

	$\displaystyle\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$	$\displaystyle=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$
		$\displaystyle=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$
		$\displaystyle=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
		$\displaystyle=\frac{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}{1}$