Números reales: Práctica

6 Cálculo con radicales

Ejercicio 44.

Completa las siguientes igualdades

4a2b64==6=8

Solución: Sabiendo que la propiedad según la cual

xn=xmmn

convierte un radical xn en otro de semejante xmmn de índice mn. Tenemos

4a2b64=(22ab3)222=4ab3
4a2b64=4ab3=(4ab3)332=43a3b96=64a3b96
4a2b64=(4a2b6)224=42a4b128=16a4b128

 

Ejercicio 45.

Convierte en una sola raíz las expresiones siguientes:

  1. a)

    2ab22ab

  2. b)

    6ab

  3. c)

    a216a33

Solución: Para convertir cada una de estas expresiones en una raíz debemos introducir dentro del radical todo lo que está fuera del mismo. Para ello, utilizaremos la siguiente propiedad

xmyn=xmnyn

a)

2ab22ab =(2ab2)2(2ab)
=(4a2b4)(2ab)
=8a3b5

b)

6ab =(6a)2b
=36a2b

c)

a216a33 =(a2)316a33
=a3816a33
=2a433

 

Ejercicio 46.

Simplifica las siguientes raíces:

  1. a)

    16a9b8c265

  2. b)

    2648a173b403

  3. c)

    32a881b54

  4. d)

    4a2+8ab+4b2

  5. e)

    (a2-b2)(a+b)

Solución: Para simplificar estas expresiones debemos extraer fuera del radical todo lo que podamos. Para ello, utilizaremos la siguiente propiedad

xmn+pyn=xmxpyn

a)

16a9b8c265 =16a5+4b5+3c55+15
=abc516a4b3c5

b)

2648a173b403 =23331a573+2b133+13
=2a57b13331a2b3

c)

32a881b54 =24+1a24434b4+14
=2a2243bb4
=2a23b2b4

d)

4a2+8ab+4b2 =(2a+2b)2
=2a+2b

e)

(a2-b2)(a+b) =(a-b)(a+b)(a+b)
=(a-b)(a+b)2
=(a+b)a-b

 

Ejercicio 47.

Convierte las siguientes expresiones en una sola raíz

  1. a)

    a3332b3

  2. b)

    32a2bc236a4b232aab4c3

  3. c)

    (a67)2(a7)5a2(a7)2

  4. d)

    a(aa343)5

Solución: a)

a3332b3 =3a32b3
=3a2b3

b)

32a2bc236a4b232aab4c3 =3(2a2bc2)(6a4b2)32aab4c3
=312a6b3c232aab4c3
=32a12a6b3c2ab4c3
=32a12a5cb3
=(32a)312a5cb3
=278a312a5cb3
=81a2c2b3

c)

(a67)2(a7)5a2(a7)2 =a127a57a2a27
=a12a57a2a27
=a177a14a27
=a17a167
=a7

d)

a(aa343)5 =a(aa34)53
=aa5(a34)53
=aa5a1543
=aa20a1543
=aa3512
=a12a3512
=a4712

 

Ejercicio 48.

Convierte en una sola raíz las expresiones siguientes:

  1. a)

    4a232a64a4

  2. b)

    5a345a65a23a

  3. c)

    aaa23a56a45

  4. d)

    aa23aa33aa343a2a3

Solución: a)

4a232a64a4 =(4a2)412(2a)212(4a)312
=28a81222a21226a312
=(28a8)(22a2)(26a3)12
=216a1312

b)

5a345a65a23a =(5a3)312(5a)212(5a2)412a612
=53a91252a21254a812a612
=55a111254a1412
=55a1154a1412
=5a312

c)

aaa23a56a45 =aa1530a2030a2530a2430
=aa3530a4930
=aa35a4930
=a1a1430
=a30a1430
=a1630
=a815

d)

aa23aa33aa343a2a3=
=a3a23a2a33a4a343a4a3
=a53a53a743a8a3
=a56a56a712a912
=a1012a1012a712a912
=a10a10a7a912
=a3612
=a3

 

Ejercicio 49.

Simplifica las siguientes expresiones

  1. a)

    275-327+48

  2. b)

    2503-2543+3163

  3. c)

    27a5+1875a5-48a5

  4. d)

    8183-375643+811253

  5. e)

    312-245+75+220

Solución: a)

275-327+48 =2523-332+1+2223
=253-333+223
=103-93+43
=(10-9+4)3
=53

b)

2503-2543+3163 =5323-23323+323+13
=523-2323+3223
=(5-6+6)23
=523

c)

27a5+1875a5-48a5 =32+1a22+1+5223a22+1-2223a22+1
=3a23a+52a23a-22a23a
=(3a2+25a2-4a2)3a
=24a23a

d)

8183-375643+811253 =33+13233-53332233+33+13533
=3332-53322+3335
=(32-54+35)33
=172033

e)

312-245+75+220 =3223-2325+523+2225
=323-235+53+225
=(6+5)3+(4-6)5
=113-25

 

Ejercicio 50.

Desarrolla y simplifica las siguientes expresiones:

  1. a)

    (32-23)(2+3)-(2-6)2

  2. b)

    (2+5)(3-25)-(5+2)2-(5-3)(5+3)

Solución: a)

(32-23)(2+3)-(2-6)2=3(2)2+323-232-2(3)2-
-[22-226+(6)2]
=6+36-26-6-4+46-6
=-10+56

b)

(2+5)(3-25)-(5+2)2-(5-3)(5+3)=6-45+35-2(5)2-
-[(5)2+45+4]-[(5)2-9]
=6-45+35-10-5-45-4-5+9
=-9-55

 

Ejercicio 51.

Racionaliza las siguientes expresiones:

  1. a)

    127a

  2. b)

    14a23

  3. c)

    2a81a23

  4. d)

    6ab288a2b54

  5. e)

    a2-b2a+b

Solución: a)

127a =127a7a7a
=7a2(7a)2
=7a2(7a)
=7a14a

b)

14a23 =1(2a)232a32a3
=2a3(2a)33
=2a32a

c)

2a81a23 =2a(9a)239a39a3
=2a9a3(9a)33
=2a9a39a
=29a39

d)

6ab288a2b54 =6ab24+132a2b4+14
=6ab2b232a2b4
=3a232a2b42332a2b342332a2b34
=3a2332a2b342434a4b44
=3a72a2b3423ab
=72a2b342b

e)

a2-b2a+b =a2-b2a+ba+ba+b
=(a2-b2)a+b(a+b)2
=(a+b)(a-b)a+ba+b
=(a-b)a+b

 

Ejercicio 52.

Racionaliza las siguientes expresiones:

  1. a)

    237-3

  2. b)

    3727+32

  3. c)

    33-2272-23

Solución: a)

237-3 =237-37+37+3
=143+2(3)272-(3)2
=143+649-3
=143+646
=73+323

b)

3727+32 =3727+3227-3227-32
=6(7)2-914(27)2-(32)2
=42-91428-18
=42-91410

c)

33-2272-23 =33-2272-2372+2372+23
=216+6(3)2-14(2)2-46(72)2-(23)2
=176+18-2898-12
=176-1086

 

Ejercicio 53.

Convierte las siguientes expresiones en potencias:

  1. a)

    a23

  2. b)

    a-76

  3. c)

    1/a94

Solución: Sabiendo que

xmn=xmn

tenemos: a)

a23=a23

b)

a-76 =a-76
=a-76

c)

1a94 =1a94
=a-94

 

Ejercicio 54.

Convierte las siguientes expresiones en forma de radical:

  1. a)

    a4/5

  2. b)

    1/a-1/2

  3. c)

    a-5/4

Solución: Sabiendo que

xmn=xmn

tenemos: a)

a45=a45

b)

1a-12 =a12
=a

c)

a-54 =a-54
=a-54

 

Ejercicio 55.

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

  1. a)

    160,25

  2. b)

    0,0081/3

  3. c)

    927-311

  4. d)

    81-13-2

Solución: a)

160,25 =1614
=244
=2

b)

0,0081/3 =(810-3)13
=2310-33
=(210-1)33
=210-1
=0,2

c)

927-311 =32(33)-311
=323-911
=31111
=3

d)

81-13-2 =(34)-13-2
=3-43-2
=3-2
=(13)2
=13

 

Ejercicio 56.

Convierte en una sola potencia de a las expresiones siguientes:

  1. a)

    a3aa35

  2. b)

    a37a25

  3. c)

    a3a55

  4. d)

    a2aa54

Solución: Sabiendo que

xmn=xmn

y teniendo presentes las propiedades de las potencias, tenemos:

a)

a3aa35 =a3a12a35
=a3+12+35
=a4110

b)

a37a25 =a37a25
=a37-25
=a135

c)

a3a55 =a3a155
=a3+155
=a1655
=a16/55
=a1625

d)

a2aa54 =a2aa154
=a2a654
=a2a6/54
=a2a310
=a2+310
=a2310
=a23/102
=a2320

 

Ejercicio 57.

Expresa en forma ambn las expresiones siguientes:

  1. a)

    a2b53b34

  2. b)

    a2b-8a-435a-2b3a5b434

Solución: a)

a2b53b34 =a2b523b34
=(a2b52)13b34
=(a23b56)b34
=a23b56+34
=a23b1912

b)

a2b-8a-435a-2b3a5b434 =a2(b-8a-4)135a-2b3(a5b4)134
=a2b-83a-435a-2b3a53b434
=a2-43b-835a-2+53b3+434
=a23b-835a-15b1334
=(a23b-83)15(a-15b133)14
=a215b-815a-120b1312
=a115+120b-815-1312
=a760b-9760

 

Ejercicio 58.

Demuestra las igualdades siguientes:

  1. a)

    3-53+5=23+5

  2. b)

    1+123+1-123=3

Solución: a) Sabiendo que a=b si b2=a, entonces calculamos

(23+5)2 =4(3+5)2
=4(3+5)23-53-5
=4(3-5)(3+5)[32-(5)2]
=4(3-5)4(3+5)
=3-53+5

Este resultado prueba que

3-53+5=23+5

b) Supongamos que

A=1+123+1-123

entonces

A2 =(1+123)2+21+1231-123+(1-123)2
=1+123+21-(123)2+1-123
=2+21-34
=2+214
=2+1
=3

Luego, A=3, o sea, se cumple

1+123+1-123=3

 

Ejercicio 59.

Demuestra que 7+43+7-43 es un número entero.

Solución: Supongamos que

A=7+43+7-43

entonces

A2 =(7+43)2+27+437-43+(7-43)2
=7+43+249-(43)2+7-43
=14+249-48
=14+2
=16

Luego, A=4, o sea,

7+43+7-43=4

 

Ejercicio 60.

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:

  1. a)

    12+3-5

  2. b)

    2103-43

Solución: a)

12+3-5 =1(2+3)-5(2+3)+5(2+3)+5
=2+3+5(2+3)2-(5)2
=2+3+5(2)2+223+(3)2-(5)2
=2+3+52+26+3-5
=2+3+52666
=12+18+302(6)2
=223+322+3012
=23+32+3012

b) Teniendo en cuenta la siguiente identidad

x3-y3=(x-y)(x2-xy+y2)

tenemos

2103-43 =2103-43(103)2-10343+(43)2(103)2-10343+(43)2
=21003-2403+2163(103)3-(43)3
=21003-22353+223+1310-4
=21003-2253+22236
=1003-253+2233

 

Ejercicio 61.

Simplifica las sumas siguientes:

  1. a)

    108+627+832-523-2

  2. b)

    3-23+5+22-13-5+15-2

Solución: a) Primero, racionalizaremos los denominadores de las fracciones. Así tenemos,

627 =632+1
=63333
=233
832 =8222+1
=822222
=222
=2
523-2 =523-223+223+2
=103+52(23)2-(2)2
=103+5243-2
=103+5210
=23+22

Por tanto, tenemos

108+627+832-523-2 =108+233+2-23+22
=62232+1+43+62-63-326
=363+43+62-63-326
=(36+4-6)3+(6-3)26
=343+326

b) Del mismo modo que antes, primero, racionalizaremos los denominadores de las fracciones. Así tenemos,

3-23+5 =3-23+53-53-5
=9-35-32+1032-(5)2
=9-35-32+104
22-13-5 =22-13-53+53+5
=62+210-3-532-(5)2
=62+210-3-54
15-2 =15-25+25+2
=5+2(5)2-(2)2
=5+23

Por tanto, tenemos

3-23+5+22-13-5+15-2 =9-35-32+104+62+210-3-54+5+23
=6-45+32+3104+5+23
=18-125+92+910+45+4212
=18-85+132+91012