Números reales: Práctica

3 El orden en el conjunto de los números reales

Ejercicio 20.

Si a,b son dos números reales positivos, probar que se cumple

a2<b2a<b

Si a,b no son positivos, ¿es cierta la implicación anterior?

Solución: Evidentemente, se cumple

a2 <b2
0 <b2-a2
0 <(a+b)(a-b)

Puesto que por hipótesis a,b+, se cumple a+b+ y, por tanto, de la última desigualdad, se deduce a-b+, es decir, a<b.

Si a,b no son positivos, la implicación no es cierta, pues, por ejemplo,

(-2)2=4<9=(-3)2

y no es cierto que -2 sea menor que -3.  

Ejercicio 21.

Si a,b son dos números reales positivos, probar que se cumple

aba+b2

¿En qué casos se da la igualdad?

Solución: Observa que si a>0, b>0 y ab, entonces a>0, b>0 y ab. Entonces, se cumple

(a-b)2 >0
(a)2-2ab+(b)2 >0
a-2ab+b >0
a+b >2ab
a+b2 >ab

Por lo tanto, la desigualdad estricta se cumple cuando ab. Si a=b>0, entonces la desigualdad se convierte en una igualdad, pues, los dos miembros son iguales a a.

Por otra parte, supongamos a>0, b>0 y que se cumple

ab =a+b2
ab =(a+b)24
4ab =(a+b)2
4ab =a2+2ab+b2
0 =a2-2ab+b2
0 =(a-b)2

de donde se sigue que a=b. Por tanto, la igualdad se cumple cuando a=b.  

Ejercicio 22.

Sea A={x:x<4}, B={x:x-4} y C={x:0<x<7}. (a) Expresa los conjuntos dados en forma de intervalos o semirrectas; (b) expresa ABC en forma de entorno de algún punto.

Solución: (a) Es claro que

A=(-,4)B=[-4,+)C=(0,7)

(b) Primero calcularemos ABC. Para ello, observa la figura siguiente:

Es claro a partir de ella que

ABC=(0,4)

El punto medio de este intervalo es 2 y la distancia de éste a uno cualquiera de los extremos es también 2. Por tanto,

ABC=E2(2)

 

Ejercicio 23.

Calcula el supremo, ínfimo, máximo y mínimo (si existen) de los siguientes conjuntos:

  1. a)

    A=(-,3)[10,11)

  2. b)

    B={x:x2-4x+3<0}

  3. c)

    C={x:|x-1|3}

  4. d)

    D={1/n:n}

Solución: a) Es claro que el conjunto

A=(-,3)[10,11)

no está acotado inferiormente y que los puntos del conjunto [11,+) son cotas superiores de A. Por esto no existe ı´nfA y supA=11. Además, A no admite máximo ni mínimo.

b) Primero, expresaremos

B={x:x2-4x+3<0}

mediante intervalos o semirrectas. Para ello, debemos resolver la siguiente inecuación de segundo

x2-4x+3<0

Un método para resolver este tipo de inecuaciones es representar a "grosso modo"la parábola y=x2-4x+3 y averiguar después para qué valores de x es y<0. Busquemos los puntos de corte de la parábola con el eje OX, resolviendo la ecuación

x2-4x+3=0

cuyas soluciones son x=1 o x=3. Por la simetría de la parábola y por ser a=1>0, en x=2 la parábola tendrá un mínimo como se muestra en la siguiente figura.

A partir de la gráfica, es claro que y<0 cuando 1<x<3. Por tanto,

B=(1,3)

A partir de aquí, es claro que supB=3, ı´nfB=1 y que B no admite máximo ni mínimo.

c) Observa, en primer lugar, que

|x-1| 3
-3 x-13
-2 x4

Luego,

C ={x:|x-1|3}
=[-2,4]

De aquí, se deduce de forma inmediata que supC=ma´xC=4 y ı´nfC=mı´nC=-2.

d) Ahora tenemos que

D={1/n:n}

Observa que

1n>0

para todo n. Por tanto, 0 es una cota inferior de D. Observa también que

1n1

para todo n. Por tanto, 1 es una cota superior de D. A partir de estos dos hechos, es evidente que supD=ma´xD=1, ı´nfD=0 y D no admite mínimo.  

Ejercicio 24.

Escribe las expresiones siguientes sin hacer uso del valor absoluto:

  1. a)

    |x-3|

  2. b)

    |x-1|+|x+3|

  3. c)

    |1-|x||

  4. d)

    |x-y|-|y|

Solución: Para resolver estas cuestiones debemos recordar la definición de valor absoluto:

|a|={asi a0-asi a<0

a) La expresión |x-3| dependerá del signo de x-3; si x3, entonces x-30, y si x<3, entonces x-3<0. Por tanto,

|x-3|={x-3si x3-(x-3)=3-xsi x<3

b) La expresión |x-1|+|x+3| dependerá de los signos de x-1 y x+3. Observa la siguiente figura:

A partir de ella, es claro que se cumple

|x-1|+|x+3|={2x+2si x14si -3x<1-2x-2si x<3

c) La expresión |1-|x|| dependerá, primero, del signo de x. Así, tenemos

|1-|x||={|1-x|si x0|1-(-x)|=|1+x|si x<0

Entonces, si x0, tenemos

|1-x|={1-xsi 0<x1-(1-x)=x-1si x>1

y si x<0, tenemos

|1+x|={1+xsi -1x<0-(1+x)=-1-xsi x<-1

En resumen, hemos obtenido que

|1-|x||={x-1si x>11-xsi 0<x11+xsi -1x<0-1-xsi x<-1

d) La expresión |x-y|-|y| dependederá de los signos de x-y e y. Observa las regiones del plano señaladas en la siguiente figura:

A partir de ellas, es claro que se cumple

|x-y|-|y|={-(x-y)-y=-xsi y>0,y>xx-y-y=x-2ysi y>0,yx-(x-y)-(-y)=-x+2ysi y<0,y>xx-y-(-y)=xsi y<0,yx

 

Ejercicio 25.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

  1. a)

    |x+1|=|2x-3|

  2. b)

    |x+1|+|x-1|=4

  3. c)

    |x2-x|+|x|=9

Solución: Para resolver estas ecuaciones, primero examinaremos los signos de las expresiones con valor absoluto para saber cuándo la expresión cambia de signo o queda igual. Segundo, resolveremos las ecuaciones que resultan en cada región y, tercero, descartaremos las soluciones que no pertenecen a las regiones correspondientes.

a) Para resolver la ecuación |x+1|=|2x-3| hay que examinar los signos de las expresiones x+1 y 2x-3. Para ello, observa la siguiente figura:

De ella, resulta claro que las soluciones son x=2/3 o x=4.

b) Del mismo modo resolveremos la ecuación |x+1|+|x-1|=4. Observa la siguiente figura para ver los signos de las expresiones x+1 y x-1:

A partir de ella, es claro que las soluciones son x=-2 o x=2.

c) Análogamente, para resolver la ecuación |x2-x|+|x|=9 debemos analizar los signos de las expresiones x2-x y x. Para ello, observa la siguiente figura:

A partir de ella, es claro que las soluciones son x=1-10 o x=3.  

Ejercicio 26.

Resuelve las inecuaciones siguientes, expresando las soluciones en forma de intervalos o semirrectas:

  1. a)

    |3-x||2x+1|

  2. b)

    |x-1|+|x+2|>3

  3. c)

    2<|4-x2|12

  4. d)

    |x-1x+1|<2

  5. e)

    |4-1x2|<1

Solución: Para resolver estas inecuaciones utilizaremos la misma técnica usada en el ejercicio 24, es decir, primero examinaremos los signos de las expresiones con valor absoluto para saber cuándo la expresión cambia de signo o queda igual. Segundo, resolveremos las inecuaciones que resultan en cada región y, tercero, descartaremos las soluciones que no pertenecen a las regiones correspondientes.

a) Para resolver la inecuación |3-x||2x+1|, observa la figura siguiente:

A partir de ella, es claro que las soluciones son -4x2/3, es decir, los puntos del intervalo cerrado

[-4,2/3]

b) Para resolver la inecuación |x-1|+|x+2|>3, observa la figura siguiente:

A partir de ella, es claro que las soluciones son x<-2 o x>1, es decir, los puntos de la siguiente unión de semirrectas abiertas

(-,-2)(1,+)

c) Para resolver la inecuación 2<|4-x2|12, observa la figura siguiente:

En ella hemos representado la parábola y=4-x2 para poder averiguar el signo de la expresión 4-x2. Vemos que si -2x2, entonces 4-x20, y en el resto, 4-x2<0. Hay pues dos casos: (1) -2x2 y (2) x<-2 o x>2.

(1) Supongamos que -2x2, entonces en esta región la inecuación se escribe como

2<4-x212-2<-x282>x2-8

de donde resulta x2<2, pues, x2-8 se cumple para todo x. Por tanto, las soluciones son

-2<x<2

como puede deducirse de la siguiente figura

Observa que las soluciones que hemos obtenido están dentro de la región considerada.

(2) Supongamos ahora que x<-2 o x>2, entonces en esta región la inecuación se escribe como

2<-(4-x2)122<-4+x2126<x216

de donde resultan las inecuaciones x216 y x2>6. De la primera, obtenemos -4x4, y de la segunda, -6>x>6. Al igual que antes, estos resultados pueden deducirse de la representación gráfica de la parábola y=x2. De las soluciones obtenidas sólo las que indicamos a continuación

-4x<-6 y 6<x4

están en la región considerada. En resumen, las soluciones de la inecuación 2<|4-x2|12 son todos los números reales pertenecientes a la siguiente unión de intervalos

[-4,-6)(-2,2)(6,4]

En la figura siguiente se señala otro método para resolver este tipo de inecuaciones, basado en la representación gráfica de la curva y=|4-x2| a partir de la parábola y=4-x2.

Observa como se obtienen las mismas soluciones.

(d) Para resolver la inecuación

|x-1x+1|<2

primero efectuamos las siguientes transformaciones

|x-1||x+1| <2
|x-1| <2|x+1|

en el supuesto de que x-1. Observa ahora la siguiente figura:

A partir de ella, obtenemos que las soluciones de la inecuación son x<-3 o x>-1/3, pues, en la región x1 la inecuación se cumple trivialmente (porque x1>-3), es decir, los puntos de la siguiente unión de semirrectas

(-,-3)(-1/3,+)

e) Para resolver la inecuación

|4-1x2|<1

primero efectuamos las siguientes transformaciones

|4x2-1x2| <1
|4x2-1||x2| <1
|4x2-1|x2 <1
|4x2-1| <x2

en el supuesto de que x0. En la siguiente figura hemos dibujado la parábola y=4x2-1 para poder averiguar el signo de la expresión 4x2-1.

Observa que para x-1/2 o x1/2 se cumple 4x2-10, y en el resto se cumple 4x2-1<0. Hay pues dos casos: (1) x-1/2 o x1/2 y (2) -1/2<x<1/2.

(1) Supongamos que x-1/2 o x1/2, entonces en esta región la inecuación se escribe como sigue

4x2-1 <x2
3x2 <1
x2 <13

cuyas soluciones son

-1/3<x<1/3

como puede deducirse en seguida a partir de la gráfica de la parábola y=x2. Por tanto, las soluciones que están dentro de la región considerada son

-1/3<x-1/2 o 1/2x<1/3 (3)

(2) Supongamos ahora que -1/2<x<1/2, entonces en esta región la inecuación se escribe como sigue

-(4x2-1) <x2
-4x2+1 <x2
1 <5x2
15 <x2

cuyas soluciones son

-1/5>x>1/5

como puede deducirse en seguida a partir de la gráfica de la parábola y=x2. De las soluciones obtenidas, sólo están dentro de la región considerada las que indicamos a continuación

1/5<x<1/2 o -1/2<x<-1/5 (4)

En resumen, juntando las soluciones (3) y (4), obtenemos que las soluciones de la inecuación dada son todos los números reales de la siguiente unión de intervalos abiertos

(-1/3,-1/5)(1/5,1/3)