Números reales: Práctica

1 El conjunto de los números reales

Ejercicio 1.

(1) Calcula la diagonal del rectángulo cuyas dimensiones son 2 cm y 1 cm, y (2) determina si el número que has obtenido es racional o irracional.

Solución: (1) Si designamos por x el valor de la diagonal, al ser rectángulo el triangulo ABC

podemos aplicar el teorema de Pitagoras. De este modo, tenemos

x2=22+12=5

Por tanto, x=5, es decir, la diagonal del rectángulo es un segmento de longitud 5 cm.

(2) Demostraremos por reducción al absurdo que el número 5 es irracional. En otras palabras, suponiendo lo contrario, es decir, que 5 es racional, deduciremos una contradicción. En efecto, si 5 es un número racional, entonces podremos expresarlo como una fracción

5=nm (1)

donde n,m. No es restrictivo suponer que además la fracción es irreducible, pues, si no lo fuera, trataríamos de reducirla a una fracción irreducible equivalente. Por tanto, los números enteros n y m son primos entre sí. Además, m no puede ser 1 ya que, si lo fuera, 5 sería un número entero y esto no es posible ya que, en la figura 1 hemos situado 5 sobre la recta mediante regla, escuadra y compás y hemos comprobado que 5 es mayor que 2 y menor que 3.

Ahora bien, se cumple (1) si

(nm)2=n2m2=5

pero esto no es posible ya que los números enteros n2 y m2, por ser cuadrados, tienen descomposiciones en factores primos donde todos los factores están elevados al cuadrado y, además, al haber supuesto que n y m son primos entre sí, no tienen ningún factor en común. Por lo tanto, la fracción n2m2 también es irreducible y no puede simplificarse y ser igual a 5.  

Ejercicio 2.

Un rectángulo se llama áureo cuando tiene la propiedad de que si le quitamos un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al primero.

Al cociente entre el lado mayor y el lado menor de un rectángulo áureo se llama el número áureo y se designa por Φ. (1) Calcula el número áureo. (2) Prueba que Φ es un número irracional.

Solución: (1) Por ser los rectángulos ABDE y CDEF semejantes, sus lados serán proporcionales. Por tanto, podemos escribir

Φ=AE¯CF¯=AB¯CD¯

es decir,

Φ=a+ba=ab

De la proporción

a+ba=ab

obtenemos

1+ba=ab

o lo que es lo mismo,

1+1ab=ab

Ahora bien, sabemos que Φ=ab y, por tanto, podemos escribir

1+1Φ=Φ

es decir,

1Φ=Φ-11

de donde

Φ(Φ-1) =1
Φ2-Φ =1
Φ2-Φ-1 =0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado, obtenemos las dos soluciones siguientes

1±1+42=1±52

Teniendo presente que Φ designa un cociente entre longitudes de segmentos, Φ ha de ser un número positivo. Por tanto, el número áureo viene dado por

Φ=1+52

(2) Demostraremos por reducción al absurdo que Φ es un número irracional. Primero, observamos que

Φ=1+52=12+125

de donde se obtiene

Φ-1212=5 (2)

Si fuera Φ racional, al ser 12 un número racional, entonces, por (2), 5 sería un número racional, pero esto no es posible, según hemos visto en el ejercicio 1. De este modo, deducimos que Φ es un número irracional.  

Ejercicio 3.

(1) Con regla, escuadra y compás, representa sobre la recta los siguientes números: a) 3(1-2), b) 2(3-2), c) 12(1+5). (2) Prueba que los tres números anteriores son irracionales.

Solución: (1) Para resolver esta cuestión, primero trazamos una recta horizontal. Después situamos el origen y, a partir de él, situamos la unidad.

a) Primero, construiremos sobre la recta un segmento de longitud 2. Para ello, con la ayuda de la escuadra dibujamos un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 1. Por el teorema de Pitágoras, su hipotenusa será 2. Con la ayuda del compás, situamos 2 sobre la recta. Hemos construido así un segmento de longitud 2, indicado en rojo en la figura 2

Ahora situaremos 1-2 sobre la recta. Para ello, con la ayuda de la regla, trazamos un segmento de longitud 2 a partir de 1 hacia la izquierda; para ver como se ha hecho, mira la figura 2. Finalmente, hacemos tres partes iguales sobre una recta cualquiera que pasa por el origen y, unimos con una recta el punto 1-2 con el extremo de la primera parte. Ahora, con la ayuda de la regla y la escuadra, trazamos una recta paralela desde el extremo de la tercera parte, por el teorema de Thales11 1 Recuerda que el teorema de Thales dice que los segmentos determinados sobre dos rectas concurrentes cortadas por varias rectas paralelas son proporcionales., el punto determinado por esta paralela sobre la recta será 3(1-2); para ver como se hace esto mira de nuevo la figura 2.

b) Procederemos del mismo modo para situar sobre la recta el número 2(3-2). Como resumen, adjuntamos la figura 3, en donde se pueden ver los pasos que se han hecho para situar 2(3-2).

c) De nuevo, hay que aplicar el método explicado en el apartado a). Como resumen, adjuntamos la figura 4, en donde se pueden ver los pasos que se han hecho para situar 12(1+5).

(2) Para probar que los tres números anteriores son irracionales utilizaremos el método de demostración por reducción al absurdo. Según este método, se supone lo contrario y por razonamientos correctos debemos deducir una contradicción. En tal caso, se concluye que la hipótesis que habíamos negado es verdadera.

a) Sabemos que 2 es un número irracional. Supongamos que 3(1-2) es un número racional r, entonces

r =3(1-2)
r3 =1-2
2 =1-r3

pero 1-r3 es un número racional, lo cual es absurdo con el hecho de que 2 es un número irracional.

b) Procederemos del mismo modo, basta con suponer que

r =2(3-2)
r2 =3-2
2 =3-r2

y, como 3-r2 es un número racional, se llega a una contradicción, pues, 2 es un número irracional.

c) Nos damos cuenta de que 12(1+5) es el número áureo. En el ejercicio 2, hemos visto que este número es irracional.  

Ejercicio 4.

Utilizando una calculadora que no tiene la tecla para calcular raíces, ¿cómo encontrarías una expresión decimal del número 23 con cuatro cifras exactas?.

Solución: Sabemos que x=23 si x3=2. De este modo, debemos encontrar números tales que su cubo sea 2. Por tanteo, mediante una calculadora, obtenemos los siguientes resultados para 23:

Grado de aprox. 23 es mayor que 23 es menor que Observaciones
(1) Unidades 1 2 13=1 y 23=8
(2) Décimas 1,2 1,3 1,23=1,728 y 1,33=2,197
(3) Centésimas 1,25 1,26 1,253=1,953125 y 1,263=2,000376
(4) Milésimas 1,259 1,260 1,253=1,953125 y 1,263=2,000376
(5) Diezmilésimas 1,2599 1,2600 1,25993=1,999899758 y 1,263=2,000376
(6) Cienmilésimas 1,25991 1,25992 1,259923=1,999947379 y 1,259933=2,000042622

De (6) obtenemos que 1,259 es el valor aproximado de 23 con 4 cifras exactas.  

Ejercicio 5.

Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y no reales.

81,813,-1263,999,0,363636,7,3,
137,-25,-25,0,363663666,-253

Solución: Resumimos los resultados mediante la tabla siguiente:

Número N Z Q I R Observaciones
81 No 81=9
813 No No No Número decimal no periódico
-1263,999 No No -1263,999=-1264=-128=-4
0,363636 No No No Número decimal periódico
7,3 No No No Número decimal exacto
137 No No No Número decimal periódico
-25 No No No No No No hay ningún número real que su cuadrado sea negativo
-25 No No -25=-5
0,363663666 No No No Número decimal no periódico
-253 No No No Número decimal negativo no periódico

 

Ejercicio 6.

Considera la sucesión de intervalos encajados definida por

[(1+11)1,(1+11)2],[(1+12)2,(1+12)3],

es decir, los intervalos son de la forma

[(1+1n)n,(1+1n)n+1]

donde n=1,2,3,. Comprueba que esta sucesión define al número irracional denominado número e, tomando n=1, 10, 50, 100, 500, 1000, 10000, 100000 y 1000000. Escribe las cifras exactas del valor aproximado del número e que puedes obtener a partir de los valores indicados para n.

Solución: Mediante una calculadora científica puedes calcular de forma aproximada el número e.

e=2,718281828

Ahora calculemos los intervalos encajados para n=1, 10, 50, 100, 500, 1000, 10000, 100000 y 1000000.

n[(1+1n)n,(1+1n)n+1]1[2,4]10[2,59374246,2,853116706]50[2,691588029,2,74541979]100[2,704813829,2,731861968]500[2,715568521,2,720999658]1000[2,716923932,2,719640856]10000[2,718145927,2,718417741]100000[2,718268237,2,71829542]1000000[2,718280469,2,718283188]

Por tanto,

e=2,71828

 

Ejercicio 7.

Escribe las aproximaciones decimales por defecto y por exceso hasta el orden 5 de 3 y de 1+23. ¿Con cuántas cifras exactas puedes escribir los valores aproximados de estos números?

Solución: Con una calculadora obtenemos

3=1,732050808 y 1+23=2,25992105

Entonces las aproximaciones decimales de 3 hasta el orden indicado, son

OrdenAprox. defectoAprox. exceso11221,71,831,731,7441,7321,73351,73201,7321

y a partir de estos resultados, podemos escribir su valor aproximado con 4 cifras exactas

3=1,732

Para 1+23 tenemos

OrdenAprox. defectoAprox. exceso12322,22,332,252,2642,2592,26052,25992,2600

y a partir de aquí, podemos escribir su valor aproximado con 2 cifras exactas

1+23=2,2

 

Ejercicio 8.

Sitúa sobre la recta real el número π.

Solución: Para representar el número irracional π de forma aproximada sobre la recta real lo haremos mediante aproximaciones decimales, ya que no es posible hacerlo con regla y compás. Con ayuda de una calculadora, podemos obtener el siguiente valor aproximado

π=3,141592654

Entonces, tomando aproximaciones decimales por defecto y por exceso de π, tenemos

OrdenAprox. defectoAprox. exceso13423,13,233,143,1543,1413,142

Ahora podemos situar π sobre la recta real de la siguiente manera:

aumentado el intervalo [3,4] de manera que podamos visualizar el orden aproximación de las décimas, tenemos

aumentando el intervalo [3,1,3,2] de manera que podamos ver el orden de aproximación de las centésimas, tenemos

aumentando ahora el intervalo [3,14,3,15] de modo que podamos ver el orden de aproximación de las milésimas, tenemos

y, así sucesivamente, este proceso puede continuar hasta conseguir situarlo con la aproximación del grado que nos interese.  

Ejercicio 9.

Escribe tres números racionales y otros tres irracionales, comprendidos entre 4 y 5, utilizando fracciones y raíces. Justifica que los números que escribes cumplen la condición impuesta.

Solución: Como números racionales escogemos, por ejemplo,

4+52=92=4,5

que es el punto medio del segmento [4,5],

4+922=8+922=174=4,25

que es el punto medio del segmento [4,92], y

92+52=1922=194=4,75

que es el punto medio del segmento [92,5].

Puesto que 42=16 y 52=25, como números irracionales escogemos, por ejemplo,

17=4,123105626
18=4,242640687

y

19=4,358898944